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Figure 4.5 –
4.7.5 Processus de Wright-Fisher
Dans le Chapitre 6, nous introduirons et étudierons les modèles classiques de génétique
des populations. Ces modèles décrivent l’évolution de la proportion d’individus porteurs
d’un allèle A dans une population de taille constante où les individus portent les allèles A
ou a. L’un des modèles est le célèbre processus de diffusion de Wright-Fisher, justifié au
Théorème 6.3.1. Cette diffusion est la solution de l’équation différentielle stochastique
Z t = z +
t
0
Z s (1 − Z s ) dB s ,
(4.7.31)
où (B t , t ≥ 0) est un mouvement brownien standard et z ∈]0, 1[. Le Théorème 4.6.11
a montré qu’il y a existence et unicité d’une solution. De plus les points 0 et 1 sont
absorbants. Ces points correspondent à des états où la population est composée d’individus
tous de même type : soit d’allèle A (Z=1), soit d’allèle a (Z=0). Dans ce cas, on dit que
l’allèle A (resp. l’allèle a) s’est fixé dans la population. Etudions le temps de fixation de
l’un des allèles, à savoir
T
∗ = inf{t > 0, Z t = 0 ou 1},
avec la convention que inf ∅ = +∞.
Le générateur du processus de Wright-Fisher est donné pour h ∈ C
2
b par
Lh(z) =
1
2
z(1 − z) h
(z).
Appliquons les calculs du Paragraphe 4.6.6 (avec les mêmes notations) avec σ(z) = z(1−z)
et b(z) = 0. Nous obtenons Q(z) = 0, f (z) = z. Nous savons que E z (T
∗ ) = g(z), où g
est la solution de
1
2
z(1 − z) g
(z) = −1, avec g(0) = g(1) = 0. Il est facile de voir que
g(z) = −2(z log z + (1 − z) log(1 − z)). Nous avons donc
E z (T
∗ ) = −2(z log z + (1 − z) log(1 − z)) ; P z (T 0 < T 1 ) = 1 − z.
(4.7.32)
3
4.7. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES STOCHASTIQUES ...