1 6 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Nous pouvons appliquer le lemme de Borel-Cantelli et en déduire que presque-sûrement,
il y a seulement un nombre fini d’ensembles {T n < T 0 } réalisés. Ainsi, presque-sûrement,
il existe une distance D (le maximum de ces entiers n) que l’animal ne dépassera pas au
cours d’une excursion donnée hors du foyer.
4.7.4 Autres exemples de déplacements spatiaux
Voici quelques exemples de déplacements spatiaux spécifiques modélisés par des équations
différentielles stochastiques. Ces exemples ne sont en rien exhaustifs mais illustrent certains contextes biologiques. Le lecteur pourra approfondir leur étude dans les publications
correspondantes.
1 - Evolution d’un virus dans une cellule ( Lagache et Holcman [51]). Ce modèle est utilisé
pour comprendre les premiers stades de l’infection virale où le virus entre dans la cellule
et s’infiltre jusqu’au noyau. Le mouvement du virus comporte une succession de phases
balistiques le long de microtubules (les autoroutes de la cellule) et de phases de diffusion
pour passer d’un microtubule à l’autre. Le virus est absorbé dès qu’il arrive dans le noyau.
La dynamique du virus peut être résumée par l’équation de diffusion bi-dimensionnelle
dX t = b(X t )dt +
√
2D dB t ,
à laquelle s’ajoute un terme de dégradation du virus au cours du temps.
2 - Déplacement d’un poisson (Cattiaux, Chafaï, Motsch [17]). Dans ce modèle, on identifie
la mer à une surface. Le mouvement du poisson est décrit en utilisant trois variables :
la position X ∈ R
2 , la vitesse angulaire θ ∈ R et la courbure K ∈ R. La dynamique est
aléatoire et suit le système d’équations différentielles suivant.
dX t = τ (θ t , K t ) dt,
dθ t = K t dt,
dK t = −K t dt +
√
2α dB t .
Des simulations de ce modèle donnent la Figure 4.5, qui représente la trajectoire t →
(X
1
t , X
2
t ) avec α = 1 et τ (θ, K) =
1
1+2|K|
(cos θ, sin θ).
3 - Agrégation de fourmis (Boi, Capasso, Morale [13], Capasso, Oelschläger [59]). L’agrégation est un phénomène très important pour expliquer la dynamique des populations.
Elle concerne des populations de tous types : colonnes de fourmis, bancs de poissons, amas
de cellules cancéreuses, interactions sociales. Les auteurs décrivent la position (aléatoire)
de chaque fourmi et modélisent l’intégralité du mouvement des fourmis par un système
d’équations différentielles stochastiques. Les N fourmis sont aux positions respectives
X
1
t , . . . , X
N
t , au temps t. La position de la k-ième fourmi satisfait l’EDS
dX
k
t
= H(X
1
t , . . . , X
N
t )dt + σ N (X
1
t , . . . , X
N
t )dB
k
t .
Les mouvements browniens B
k sont indépendants. La fonction H modélise la forte attraction chimique qui pousse les fourmis à se former en colonnes.
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Nous pouvons appliquer le lemme de Borel-Cantelli et en déduire que presque-sûrement,
il y a seulement un nombre fini d’ensembles {T n < T 0 } réalisés. Ainsi, presque-sûrement,
il existe une distance D (le maximum de ces entiers n) que l’animal ne dépassera pas au
cours d’une excursion donnée hors du foyer.
4.7.4 Autres exemples de déplacements spatiaux
Voici quelques exemples de déplacements spatiaux spécifiques modélisés par des équations
différentielles stochastiques. Ces exemples ne sont en rien exhaustifs mais illustrent certains contextes biologiques. Le lecteur pourra approfondir leur étude dans les publications
correspondantes.
1 - Evolution d’un virus dans une cellule ( Lagache et Holcman [51]). Ce modèle est utilisé
pour comprendre les premiers stades de l’infection virale où le virus entre dans la cellule
et s’infiltre jusqu’au noyau. Le mouvement du virus comporte une succession de phases
balistiques le long de microtubules (les autoroutes de la cellule) et de phases de diffusion
pour passer d’un microtubule à l’autre. Le virus est absorbé dès qu’il arrive dans le noyau.
La dynamique du virus peut être résumée par l’équation de diffusion bi-dimensionnelle
dX t = b(X t )dt +
√
2D dB t ,
à laquelle s’ajoute un terme de dégradation du virus au cours du temps.
2 - Déplacement d’un poisson (Cattiaux, Chafaï, Motsch [17]). Dans ce modèle, on identifie
la mer à une surface. Le mouvement du poisson est décrit en utilisant trois variables :
la position X ∈ R
2 , la vitesse angulaire θ ∈ R et la courbure K ∈ R. La dynamique est
aléatoire et suit le système d’équations différentielles suivant.
dX t = τ (θ t , K t ) dt,
dθ t = K t dt,
dK t = −K t dt +
√
2α dB t .
Des simulations de ce modèle donnent la Figure 4.5, qui représente la trajectoire t →
(X
1
t , X
2
t ) avec α = 1 et τ (θ, K) =
1
1+2|K|
(cos θ, sin θ).
3 - Agrégation de fourmis (Boi, Capasso, Morale [13], Capasso, Oelschläger [59]). L’agrégation est un phénomène très important pour expliquer la dynamique des populations.
Elle concerne des populations de tous types : colonnes de fourmis, bancs de poissons, amas
de cellules cancéreuses, interactions sociales. Les auteurs décrivent la position (aléatoire)
de chaque fourmi et modélisent l’intégralité du mouvement des fourmis par un système
d’équations différentielles stochastiques. Les N fourmis sont aux positions respectives
X
1
t , . . . , X
N
t , au temps t. La position de la k-ième fourmi satisfait l’EDS
dX
k
t
= H(X
1
t , . . . , X
N
t )dt + σ N (X
1
t , . . . , X
N
t )dB
k
t .
Les mouvements browniens B
k sont indépendants. La fonction H modélise la forte attraction chimique qui pousse les fourmis à se former en colonnes.
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