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CHAPITRE 1. INTRODUCTION
l’on cherche à comprendre. Une difficulté de cette démarche est donc d’obtenir un bon
compromis entre le réalisme biologique du modèle et la faisabilité des calculs, et ce travail
ne peut se faire qu’en très bonne concertation, entre biologistes et mathématiciens. Le
modèle mathématique permet alors de pouvoir quantifier numériquement certains phénomènes et de pouvoir prédire certains comportements : par exemple, montrer qu’une
certaine population va s’éteindre et calculer le temps moyen d’extinction ou savoir comment elle va envahir l’espace. Il est important de se poser la question de la justification du
modèle. Dans le cas où il est possible d’obtenir des données observées pour le phénomène
d’intérêt, une étape ultérieure sera de valider le modèle par une approche statistique.
Nous n’aborderons pas cette question dans cet ouvrage.
L’intérêt d’un modèle réside aussi dans son “universalité”. Des problèmes biologiques très
différents (par exemple par les échelles de taille : gènes - cellules - bactéries - individus -
colonies) peuvent avoir des comportements aléatoires similaires (en terme de reproduction,
mort, migration) et être étudiés par des modèles analogues. Un même objet mathématique
pourra être utilisé à des fins biologiques différentes. Ainsi, une marche aléatoire simple
pourra modéliser la dynamique de la taille d’une population sur N ou un déplacement
sur Z. Dans le premier cas, si cette marche atteint 0 (extinction de la population), elle y
restera (sans immigration). Dans le deuxième cas, le marcheur pourra repasser une infinité
de fois par 0.
Les modèles développés dans ce livre sont “élémentaires” au sens où les processus étudiés
sont à valeurs dans des espaces de dimension finie. Prendre en compte la structure d’une
population, suivant un certain nombre de variables telles que l’âge, un ou plusieurs phénotypes, le génotype, la position spatiale, etc., exigent des modèles en dimension infinie
et nécessitent des outils mathématiques beaucoup plus lourds, que nous n’aborderons pas
ici.
1.3 Modélisation mathématique en écologie et évolution
Notre but est d’étudier les modèles probabilistes de base qui apparaissent en écologie, en
dynamique des populations et en génétique des populations. Tous ces problèmes contribuent à l’étude de la biodiversité. Nous allons préciser ici les questions biologiques qui
nous intéressent et sous-tendent l’organisation du livre.
1.3.1 Ecologie et évolution
L’écologie est l’étude des interactions entre les êtres vivants (animaux, végétaux, microorganismes, ...) et avec le milieu qui les entoure et dont ils font eux-mêmes partie, comme
par exemple leur habitat et l’environnement. L’écologie étudie en particulier la hiérarchie
complexe des écosystèmes, les mécanismes biologiques associés à l’extinction des espèces,
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
l’on cherche à comprendre. Une difficulté de cette démarche est donc d’obtenir un bon
compromis entre le réalisme biologique du modèle et la faisabilité des calculs, et ce travail
ne peut se faire qu’en très bonne concertation, entre biologistes et mathématiciens. Le
modèle mathématique permet alors de pouvoir quantifier numériquement certains phénomènes et de pouvoir prédire certains comportements : par exemple, montrer qu’une
certaine population va s’éteindre et calculer le temps moyen d’extinction ou savoir comment elle va envahir l’espace. Il est important de se poser la question de la justification du
modèle. Dans le cas où il est possible d’obtenir des données observées pour le phénomène
d’intérêt, une étape ultérieure sera de valider le modèle par une approche statistique.
Nous n’aborderons pas cette question dans cet ouvrage.
L’intérêt d’un modèle réside aussi dans son “universalité”. Des problèmes biologiques très
différents (par exemple par les échelles de taille : gènes - cellules - bactéries - individus -
colonies) peuvent avoir des comportements aléatoires similaires (en terme de reproduction,
mort, migration) et être étudiés par des modèles analogues. Un même objet mathématique
pourra être utilisé à des fins biologiques différentes. Ainsi, une marche aléatoire simple
pourra modéliser la dynamique de la taille d’une population sur N ou un déplacement
sur Z. Dans le premier cas, si cette marche atteint 0 (extinction de la population), elle y
restera (sans immigration). Dans le deuxième cas, le marcheur pourra repasser une infinité
de fois par 0.
Les modèles développés dans ce livre sont “élémentaires” au sens où les processus étudiés
sont à valeurs dans des espaces de dimension finie. Prendre en compte la structure d’une
population, suivant un certain nombre de variables telles que l’âge, un ou plusieurs phénotypes, le génotype, la position spatiale, etc., exigent des modèles en dimension infinie
et nécessitent des outils mathématiques beaucoup plus lourds, que nous n’aborderons pas
ici.
1.3 Modélisation mathématique en écologie et évolution
Notre but est d’étudier les modèles probabilistes de base qui apparaissent en écologie, en
dynamique des populations et en génétique des populations. Tous ces problèmes contribuent à l’étude de la biodiversité. Nous allons préciser ici les questions biologiques qui
nous intéressent et sous-tendent l’organisation du livre.
1.3.1 Ecologie et évolution
L’écologie est l’étude des interactions entre les êtres vivants (animaux, végétaux, microorganismes, ...) et avec le milieu qui les entoure et dont ils font eux-mêmes partie, comme
par exemple leur habitat et l’environnement. L’écologie étudie en particulier la hiérarchie
complexe des écosystèmes, les mécanismes biologiques associés à l’extinction des espèces,