1 4 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Lemme 4.7.2 Soient b 1 et b 2 deux fonctions boréliennes bornées telles que b 1 ≥ b 2 et que
b 1 soit lipschitzienne. Considérons X
1 et X
2 solutions de l’EDS (4.6.8) avec σ et b 1 (resp.
b 2 ) définies sur le même espace de probabilité avec le même mouvement brownien.
Alors, si nous supposons que X
1
0 ≥ X
2
0 , nous aurons
P(X
1
t ≥ X
2
t , pour tout t) = 1.
La preuve de ce lemme utilise des outils de calcul stochastique que nous n’avons pas
abordés dans le cadre de ce cours. Nous renvoyons par exemple au Théorème 3.7 dans
[40]. Nous pouvons en déduire qu’une solution de (4.7.29) sera presque-sûrement inférieure
à la solution de l’équation de Feller (c = 0) issue de la même condition initiale et dirigée
par le même mouvement brownien. Ainsi elle sera bien définie sur tout R + .
Introduisons le changement de variable x = 2
y
γ
et appliquons la formule d’Itô. Nous
obtenons que le processus X = 2
Y
γ
est solution de l’EDS
dX t = dB t − q(X t )dt,
où
q(x) =
1
2x
−
rx
2
+
cγx
3
8
.
La fonction q est définie et de classe C
1 sur (0, +∞). Nous avons donc existence et unicité
trajectorielle jusqu’au temps d’explosion T 0 ∧ T ∞ .
Nous souhaitons connaître le comportement du processus X, et donc de Y , en temps long.
Comme au Chapitre 4.6.6, introduisons les fonctions Q et f définies par
Q(x) = 2
x
1
q(y)dy ; f (x) =
x
1
e
Q(y) dy.
Un calcul élémentaire donne que pour x > 0,
Q(x) = log x −
r
2
(x
2 − 1) +
cγ
16
(x
4 − 1).
Si de plus [a, b] ⊂ (0, +∞) et x ∈ [a, b], nous savons que E x (T a ∧ T b ) < ∞ et que
P x (T a < T b ) =
f (b) − f (x)
f (b) − f (a)
. Observons que f (b) tend vers l’infini quand b vers +∞ et
que f (0
+ ) < ∞. De plus nous avons vu que T ∞ = +∞ p.s.. Nous en déduisons que
P x (T 0 < +∞) = 1. Le processus X atteint 0 presque-sûrement. Il en est de même pour
Y et cela, quelque soit le taux de croissance r. Le cas intéressant est celui où r > 0 pour
lequel, sans compétition (c = 0), la population peut exploser avec probabilité positive
(voir le paragraphe précédent). La compétition entre les individus régule la croissance
de la population et la mène presque-sûrement à l’extinction, quelle que soit la condition
initiale. Nous pouvons ainsi mesurer, sur ce modèle très simple, l’impact que peut avoir
l’environnement sur la survie de la population.
3
Lemme 4.7.2 Soient b 1 et b 2 deux fonctions boréliennes bornées telles que b 1 ≥ b 2 et que
b 1 soit lipschitzienne. Considérons X
1 et X
2 solutions de l’EDS (4.6.8) avec σ et b 1 (resp.
b 2 ) définies sur le même espace de probabilité avec le même mouvement brownien.
Alors, si nous supposons que X
1
0 ≥ X
2
0 , nous aurons
P(X
1
t ≥ X
2
t , pour tout t) = 1.
La preuve de ce lemme utilise des outils de calcul stochastique que nous n’avons pas
abordés dans le cadre de ce cours. Nous renvoyons par exemple au Théorème 3.7 dans
[40]. Nous pouvons en déduire qu’une solution de (4.7.29) sera presque-sûrement inférieure
à la solution de l’équation de Feller (c = 0) issue de la même condition initiale et dirigée
par le même mouvement brownien. Ainsi elle sera bien définie sur tout R + .
Introduisons le changement de variable x = 2
y
γ
et appliquons la formule d’Itô. Nous
obtenons que le processus X = 2
Y
γ
est solution de l’EDS
dX t = dB t − q(X t )dt,
où
q(x) =
1
2x
−
rx
2
+
cγx
3
8
.
La fonction q est définie et de classe C
1 sur (0, +∞). Nous avons donc existence et unicité
trajectorielle jusqu’au temps d’explosion T 0 ∧ T ∞ .
Nous souhaitons connaître le comportement du processus X, et donc de Y , en temps long.
Comme au Chapitre 4.6.6, introduisons les fonctions Q et f définies par
Q(x) = 2
x
1
q(y)dy ; f (x) =
x
1
e
Q(y) dy.
Un calcul élémentaire donne que pour x > 0,
Q(x) = log x −
r
2
(x
2 − 1) +
cγ
16
(x
4 − 1).
Si de plus [a, b] ⊂ (0, +∞) et x ∈ [a, b], nous savons que E x (T a ∧ T b ) < ∞ et que
P x (T a < T b ) =
f (b) − f (x)
f (b) − f (a)
. Observons que f (b) tend vers l’infini quand b vers +∞ et
que f (0
+ ) < ∞. De plus nous avons vu que T ∞ = +∞ p.s.. Nous en déduisons que
P x (T 0 < +∞) = 1. Le processus X atteint 0 presque-sûrement. Il en est de même pour
Y et cela, quelque soit le taux de croissance r. Le cas intéressant est celui où r > 0 pour
lequel, sans compétition (c = 0), la population peut exploser avec probabilité positive
(voir le paragraphe précédent). La compétition entre les individus régule la croissance
de la population et la mène presque-sûrement à l’extinction, quelle que soit la condition
initiale. Nous pouvons ainsi mesurer, sur ce modèle très simple, l’impact que peut avoir
l’environnement sur la survie de la population.
3