de Markov forte et l’unicité forte des solutions entraînent que les deux solutions coïncident
après le temps d’arrêt T . On a donc encore l’inégalité.
Nous en déduisons finalement qu’il existe un nombre réel positif u t (λ), appelé exposant
de Laplace de Z, tel que
g t (z) = e
−ut(λ)z .
Appliquons (4.6.22) à z → f λ (z) = exp(−λz) et pour z = 1 :
∂
∂t
P t f λ (1) = AP t f λ (1) où A
est le générateur infinitésimal de Z, défini par Af (x) =
γ
2
xf
(x)+rxf
(x), (voir (4.6.20)).
Puisque P t f λ (z) = g t (z) = exp(−zu t (λ)), cela donne
−
∂u t (λ)
∂t
exp(−u t (λ)) = (ru t (λ) −
γ
2
(u t (λ))
2 ) exp(−u t (λ)).
Nous en déduisons que l’exposant de Laplace u t (λ) est solution de
∂
∂t
u t (λ) = ru t (λ) −
γ
2
(u t (λ))
2 ,
u 0 (λ) = λ.
(4.7.28)
La résolution (élémentaire) de l’équation donne que pour tout t,
u t (λ) =
2rλe
rt
2r − γλ(1 − e rt )
.
Cela entraîne en particulier que
P 1 (T 0 < t) = lim
λ→∞
E 1
exp(−λZ t )
= lim
λ→∞
exp(−u t (λ)) = exp
−
2re
rt
γ(e rt − 1)
,
ce qui caractérise la loi de T 0 . En faisant tendre t vers l’infini, nous pouvons retrouver la
probabilité d’extinction : si r ≤ 0, P 1 (T 0 < ∞) = 1 et si r > 0, P 1 (T 0 < ∞) = e
−
2r
γ .
4.7.2 Equation de Feller logistique
L’équation de Feller n’est pas satisfaisante, si l’on souhaite prendre en compte l’effet
de régulation de la population due aux interactions écologiques. Nous allons considérer
l’équation différentielle stochastique suivante, appelée équation de Feller logistique,
dY t = (rY t − cY
2
t )dt +
γY t dB t ,
(4.7.29)
avec r ∈ R, c > 0, γ > 0 et Y 0 > 0 p.s.. Un processus solution de l’équation (4.7.29)
peut-être obtenu par construction comme limite de processus de naissance et mort renormalisés dans le cas où la compétition entre les individus est modélisée à travers le terme
quadratique et le paramètre de compétition c (voir Chapitre 5, paragraphe 5.6.2).
Nous pouvons montrer qu’une solution de cette équation n’explose pas, en la comparant
à une solution de l’équation de Feller (4.7.26). Cela repose sur le lemme de comparaison
suivant.
4.7. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES STOCHASTIQUES ...
133
après le temps d’arrêt T . On a donc encore l’inégalité.
Nous en déduisons finalement qu’il existe un nombre réel positif u t (λ), appelé exposant
de Laplace de Z, tel que
g t (z) = e
−ut(λ)z .
Appliquons (4.6.22) à z → f λ (z) = exp(−λz) et pour z = 1 :
∂
∂t
P t f λ (1) = AP t f λ (1) où A
est le générateur infinitésimal de Z, défini par Af (x) =
γ
2
xf
(x)+rxf
(x), (voir (4.6.20)).
Puisque P t f λ (z) = g t (z) = exp(−zu t (λ)), cela donne
−
∂u t (λ)
∂t
exp(−u t (λ)) = (ru t (λ) −
γ
2
(u t (λ))
2 ) exp(−u t (λ)).
Nous en déduisons que l’exposant de Laplace u t (λ) est solution de
∂
∂t
u t (λ) = ru t (λ) −
γ
2
(u t (λ))
2 ,
u 0 (λ) = λ.
(4.7.28)
La résolution (élémentaire) de l’équation donne que pour tout t,
u t (λ) =
2rλe
rt
2r − γλ(1 − e rt )
.
Cela entraîne en particulier que
P 1 (T 0 < t) = lim
λ→∞
E 1
exp(−λZ t )
= lim
λ→∞
exp(−u t (λ)) = exp
−
2re
rt
γ(e rt − 1)
,
ce qui caractérise la loi de T 0 . En faisant tendre t vers l’infini, nous pouvons retrouver la
probabilité d’extinction : si r ≤ 0, P 1 (T 0 < ∞) = 1 et si r > 0, P 1 (T 0 < ∞) = e
−
2r
γ .
4.7.2 Equation de Feller logistique
L’équation de Feller n’est pas satisfaisante, si l’on souhaite prendre en compte l’effet
de régulation de la population due aux interactions écologiques. Nous allons considérer
l’équation différentielle stochastique suivante, appelée équation de Feller logistique,
dY t = (rY t − cY
2
t )dt +
γY t dB t ,
(4.7.29)
avec r ∈ R, c > 0, γ > 0 et Y 0 > 0 p.s.. Un processus solution de l’équation (4.7.29)
peut-être obtenu par construction comme limite de processus de naissance et mort renormalisés dans le cas où la compétition entre les individus est modélisée à travers le terme
quadratique et le paramètre de compétition c (voir Chapitre 5, paragraphe 5.6.2).
Nous pouvons montrer qu’une solution de cette équation n’explose pas, en la comparant
à une solution de l’équation de Feller (4.7.26). Cela repose sur le lemme de comparaison
suivant.
4.7. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES STOCHASTIQUES ...
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