trajectorielle d’une solution qui appartient à L
2
T pour tout T > 0. S’il est nécessaire de
mentionner la condition initiale, nous noterons Z
(z0) cette solution.
En introduisant, comme dans la preuve du Théorème 4.6.11 les temps d’atteinte T n des
entiers n, nous savons que la suite (T n ) n converge vers l’infini p.s., et que pour tout t > 0,
E(Z t∧Tn ) = z 0 + r
t
0
E(Z s∧Tn )ds. Nous en déduisons par convergence monotone que
E(Z t ) = z 0 e
rt .
Ainsi, E(Z t ) converge vers +∞ si r > 0, vers 0 si r < 0, et reste égal à z 0 si r = 0.
Etudions plus finement le comportement du processus X au bord de l’intervalle (0, +∞).
Comme z 0 > 0, z 0 ∈ (
1
n
, n), pour n entier non nul bien choisi. La fonction Q définie par
(4.6.24) vaut ici Q(x) = −
2r x
γ
si r = 0 et Q(x) = 0 si r = 0. Les calculs développés au
Paragraphe 3.6.6 montrent alors que si r = 0,
P z0 (T 1
n
< T n ) =
e
−
2rn
γ − e
−
2rz 0
γ
e
−
2rn
γ − e
−
2r 1
n
γ
.
En faisant tendre n vers l’infini, nous voyons que si r < 0, P z0 (T 0 < ∞) = 1. Nous
pouvons montrer le même résultat pour le cas critique r = 0 puisque si r est proche de
0, un équivalent de P z0 (T 1
n
< T n ) vaut
n−z0
n+1/n
. Ainsi pour r ≤ 0, le processus tend vers 0
p.s.. Quand r = 0, Z est un processus dont l’espérance pour chaque t est constante et qui
tend presque sûrement vers 0 en temps long. (Les hypothèses du théorème de convergence
dominée ne sont pas vérifiées.)
Dans le cas où r > 0, nous obtenons que
P z0 (T 0 < ∞) = e
−
2rz 0
γ
=
e
−
2r
γ
z0
.
La dernière égalité montre que la probabilité d’atteindre 0 en partant d’une condition
initiale z 0 est égale à la probabilité d’atteindre 0 en partant de la condition initiale 1,
à la puissance z 0 . Cette particularité est liée à la propriété de branchement, que nous
allons prouver ci-dessous. Rappelons que cette propriété a été introduite dans le cadre de
l’étude du processus de Galton-Watson, Proposition 3.2.1. La propriété de branchement
signifie que la loi de la somme de deux solutions de (4.7.26) indépendantes issues de
deux conditions initiales distinctes, (modélisant deux populations disjointes de même
dynamique), est celle d’une solution de (4.7.26) issue de la somme des conditions initiales.
Ainsi l’effet des conditions initiales est additif.
Proposition 4.7.1 Le processus Z satisfait la propriété de branchement, i.e.
Z
(z0+z
0 ) d
= Z
(z0) + Z
(z
0 )
(z 0 , z
0 ∈ R + ),
où Z
(z0) et Z
(z
0 ) sont deux solutions de l’équation de Feller (4.7.26), mais dirigées par
deux mouvements browniens indépendants B et B
.
4.7. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES STOCHASTIQUES ...
131
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T pour tout T > 0. S’il est nécessaire de
mentionner la condition initiale, nous noterons Z
(z0) cette solution.
En introduisant, comme dans la preuve du Théorème 4.6.11 les temps d’atteinte T n des
entiers n, nous savons que la suite (T n ) n converge vers l’infini p.s., et que pour tout t > 0,
E(Z t∧Tn ) = z 0 + r
t
0
E(Z s∧Tn )ds. Nous en déduisons par convergence monotone que
E(Z t ) = z 0 e
rt .
Ainsi, E(Z t ) converge vers +∞ si r > 0, vers 0 si r < 0, et reste égal à z 0 si r = 0.
Etudions plus finement le comportement du processus X au bord de l’intervalle (0, +∞).
Comme z 0 > 0, z 0 ∈ (
1
n
, n), pour n entier non nul bien choisi. La fonction Q définie par
(4.6.24) vaut ici Q(x) = −
2r x
γ
si r = 0 et Q(x) = 0 si r = 0. Les calculs développés au
Paragraphe 3.6.6 montrent alors que si r = 0,
P z0 (T 1
n
< T n ) =
e
−
2rn
γ − e
−
2rz 0
γ
e
−
2rn
γ − e
−
2r 1
n
γ
.
En faisant tendre n vers l’infini, nous voyons que si r < 0, P z0 (T 0 < ∞) = 1. Nous
pouvons montrer le même résultat pour le cas critique r = 0 puisque si r est proche de
0, un équivalent de P z0 (T 1
n
< T n ) vaut
n−z0
n+1/n
. Ainsi pour r ≤ 0, le processus tend vers 0
p.s.. Quand r = 0, Z est un processus dont l’espérance pour chaque t est constante et qui
tend presque sûrement vers 0 en temps long. (Les hypothèses du théorème de convergence
dominée ne sont pas vérifiées.)
Dans le cas où r > 0, nous obtenons que
P z0 (T 0 < ∞) = e
−
2rz 0
γ
=
e
−
2r
γ
z0
.
La dernière égalité montre que la probabilité d’atteindre 0 en partant d’une condition
initiale z 0 est égale à la probabilité d’atteindre 0 en partant de la condition initiale 1,
à la puissance z 0 . Cette particularité est liée à la propriété de branchement, que nous
allons prouver ci-dessous. Rappelons que cette propriété a été introduite dans le cadre de
l’étude du processus de Galton-Watson, Proposition 3.2.1. La propriété de branchement
signifie que la loi de la somme de deux solutions de (4.7.26) indépendantes issues de
deux conditions initiales distinctes, (modélisant deux populations disjointes de même
dynamique), est celle d’une solution de (4.7.26) issue de la somme des conditions initiales.
Ainsi l’effet des conditions initiales est additif.
Proposition 4.7.1 Le processus Z satisfait la propriété de branchement, i.e.
Z
(z0+z
0 ) d
= Z
(z0) + Z
(z
0 )
(z 0 , z
0 ∈ R + ),
où Z
(z0) et Z
(z
0 ) sont deux solutions de l’équation de Feller (4.7.26), mais dirigées par
deux mouvements browniens indépendants B et B
.
4.7. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES STOCHASTIQUES ...
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