1 0 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Barrières réfléchissantes
Nous supposons maintenant que le processus part de x ∈ [a, c], évolue comme la diffusion
à l’intérieur de l’intervalle et est réfléchi instantanément quand il atteint le bord. Comme
dans le cas de la marche aléatoire, on a l’intuition que le processus va évoluer indéfiniment
dans l’intervalle en se stabilisant quand le temps tend vers l’infini. Nous voulons en chercher la loi invariante. Celle-ci va être limite de la loi de X t quand t tend vers l’infini. En
adaptant les résultats du Paragraphe 2.5.3, nous pouvons montrer que la loi du processus
réfléchi en a et en c est solution de l’équation de Fokker-Planck (4.6.21)
∂
∂t
(p t (x, y)) = −
∂
∂y
(b(y)p t (x, y)) +
1
2
∂
2
∂y 2 (σ
2 (y)p t (x, y)).
avec les conditions de Neumann aux bords
∂
∂y
p t (x, a) =
∂
∂y
p t (x, c) = 0.
Si l’on fait tendre t vers l’infini, nous obtenons que la densité limite q est solution de
l’équation différentielle ordinaire
∂
∂y
(b(y)q(y)) =
1
2
∂
2
∂y 2 (σ
2 (y)q(y)),
avec les conditions aux bords q
(a) = q
(c) = 0.
Nous pouvons alors résoudre cette équation et obtenir la mesure invariante du processus.
4.7 Equations différentielles stochastiques pour l’étude
des populations
4.7.1 Equation de Feller
L’équation de diffusion de Feller, du nom du mathématicien W. Feller qui l’a introduite
(voir [35]), modélise la taille d’une population dans le cas où une propriété d’indépendance
des généalogies issues d’individus distincts est vérifiée. Cette équation sera étudiée plus
en détail dans les Chapitres 5 et 7, où nous verrons en particulier la justification de cette
équation comme approximation d’un processus discret décrivant la taille d’une population.
Cette équation est donnée par
dZ t = rZ t dt +
γZ t dB t ; Z 0 = z 0 > 0,
(4.7.26)
où (B t , t ≥ 0) est un mouvement brownien standard, r ∈ R et γ > 0.
Le paramètre r est appelé taux de croissance. Les termes infinitésimaux de dérive et de
variance sont proportionnels à Z. Par le Théorème 4.6.11, nous avons existence et unicité
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Barrières réfléchissantes
Nous supposons maintenant que le processus part de x ∈ [a, c], évolue comme la diffusion
à l’intérieur de l’intervalle et est réfléchi instantanément quand il atteint le bord. Comme
dans le cas de la marche aléatoire, on a l’intuition que le processus va évoluer indéfiniment
dans l’intervalle en se stabilisant quand le temps tend vers l’infini. Nous voulons en chercher la loi invariante. Celle-ci va être limite de la loi de X t quand t tend vers l’infini. En
adaptant les résultats du Paragraphe 2.5.3, nous pouvons montrer que la loi du processus
réfléchi en a et en c est solution de l’équation de Fokker-Planck (4.6.21)
∂
∂t
(p t (x, y)) = −
∂
∂y
(b(y)p t (x, y)) +
1
2
∂
2
∂y 2 (σ
2 (y)p t (x, y)).
avec les conditions de Neumann aux bords
∂
∂y
p t (x, a) =
∂
∂y
p t (x, c) = 0.
Si l’on fait tendre t vers l’infini, nous obtenons que la densité limite q est solution de
l’équation différentielle ordinaire
∂
∂y
(b(y)q(y)) =
1
2
∂
2
∂y 2 (σ
2 (y)q(y)),
avec les conditions aux bords q
(a) = q
(c) = 0.
Nous pouvons alors résoudre cette équation et obtenir la mesure invariante du processus.
4.7 Equations différentielles stochastiques pour l’étude
des populations
4.7.1 Equation de Feller
L’équation de diffusion de Feller, du nom du mathématicien W. Feller qui l’a introduite
(voir [35]), modélise la taille d’une population dans le cas où une propriété d’indépendance
des généalogies issues d’individus distincts est vérifiée. Cette équation sera étudiée plus
en détail dans les Chapitres 5 et 7, où nous verrons en particulier la justification de cette
équation comme approximation d’un processus discret décrivant la taille d’une population.
Cette équation est donnée par
dZ t = rZ t dt +
γZ t dB t ; Z 0 = z 0 > 0,
(4.7.26)
où (B t , t ≥ 0) est un mouvement brownien standard, r ∈ R et γ > 0.
Le paramètre r est appelé taux de croissance. Les termes infinitésimaux de dérive et de
variance sont proportionnels à Z. Par le Théorème 4.6.11, nous avons existence et unicité
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