4.6. INTÉGRALES STOCHASTIQUES ET EDS
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Proposition 4.6.21
Pour tout x ∈]a, c[,
E x ( T a,c ) = g(x) < +∞ , P x (T a < T c ) =
f (c) − f (x)
f (c) − f (a)
.
Preuve. Nous appliquons la formule d’Itô à la fonction g, ce qui donne
g(X t∧Ta,c ) = g(X 0 ) +
t∧Ta,c
0
g
(X s )σ(X s )dB s +
t∧Ta,c
0
1
2
σ
2 (X s )g
(X s ) + b(X s )g
(X s )
ds
= g(X 0 ) +
t∧Ta,c
0
g
(X s )σ(X s )dB s − t ∧ T a,c .
Le processus
t∧Ta,c
0
g
(X s )σ(X s )dB s est une martingale arrêtée. Ainsi, pour tout t > 0,
E x (g(X t∧Ta,c )) = g(x) − E x (t ∧ T a,c ).
(4.6.25)
Nous en déduisons que pour tout t > 0,
E x (t ∧ T a,c ) ≤ 2g ∞ ,
où g ∞ est le supremum de g sur [a, c], puis en faisant tendre t vers l’infini, que
E x (T a,c ) < +∞.
En particulier, T a,c est fini presque-sûrement et E x (T a,c ) = g(x) car g(a) = g(c) = 0.
Appliquons maintenant la formule d’Itô à la fonction f .
f (X t ) = f (X 0 ) +
t
0
f
(X s )σ(X s )dB s +
t
0
1
2
σ
2 (X s )f
(X s ) + b(X s )f
(X s )
ds
= f (X 0 ) +
t
0
f
(X s )σ(X s )dB s .
Ainsi (f (X t∧Ta,c ), t ≥ 0) est une martingale bornée (car X t ∈ [a, c]) et E(f (X t )) =
E(f (X 0 )). Nous pouvons donc appliquer le théorème d’arrêt au temps d’arrêt T a ∧ T c .
Ainsi
E x (f (X Ta∧Tc )) = f (a)P x (T a < T c ) + f (c)P x (T c < T a ) = f (x),
et par ailleurs comme nous l’avons vu ci-dessus,
P x (T a < T c ) + P x (T c < T a ) = 1.
Nous en déduisons ainsi que pour tout x ∈ (a, c),
P x (T a < T c ) =
f (c) − f (x)
f (c) − f (a)
; P x (T c < T a ) =
f (x) − f (a)
f (c) − f (a)
.
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