4.6. INTÉGRALES STOCHASTIQUES ET EDS
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Dans le cas où la loi de X t issue de x admet une densité p t (x, y) deux fois dérivable en x,
nous en déduisons que
P t f (x) = f (x) +
t
0
A(P s f )(x)ds
= f (x) +
t
0
b(x)
∂
∂x
p s (x, y)f (y)dy
+
1
2
σ
2 (x)
∂
2
∂x 2
p s (x, y)f (y)dy
ds.
Finalement, nous obtenons pour tout y,
∂
∂t
(p t (x, y)) = b(x)
∂
∂x
p t (x, y) +
1
2
σ
2 (x)
∂
2
∂x 2 p t (x, y).
(4.6.23)
Nous avons ainsi exhibé des solutions d’équations aux dérivées partielles à partir d’objets
probabilistes. Ces équations modélisent macroscopiquement (en moyenne) un phénomène
dont les fluctuations aléatoires sont décrites par le processus de diffusion sous-jacent.
Sous certaines hypothèses, il est possible de prouver que la loi de X t sachant que X 0 = x
admet une densité. Par exemple nous avons le
Théorème 4.6.20 Si la fonction b est lipschitzienne bornée et si σ est de classe C
1
b avec
σ(x) ≥ σ
∗ > 0 pour tout x, alors pour tout t > 0, il existe une fonction (x, y) → p t (x, y)
sur R × R, telle que P t f (x) =
p t (x, y)f (y)dy, (et ceci même si la condition initiale est
déterministe).
Preuve. Ce résultat montre l’effet de régularisation dû au mouvement brownien. Donnons
une idée succincte de la preuve. Grâce aux propriétés de σ, la fonction f (x) =
x
0
1
σ(u)
du
est bijective et de classe C
2 . Nous pouvons appliquer la formule d’Itô.
f (X t ) = f (X 0 ) + B t +
t
0
b(X s )
σ(X s )
− σ
(X s )
ds.
Le processus (f (X t )) t est donc la somme d’un mouvement brownien et d’un terme de
dérive à coefficient borné. Nous utilisons alors un théorème très connu appelé Théorème
de Girsanov (mais qui sort du cadre de ce cours, voir par exemple [45] Chap. 3) qui
montre en particulier que la loi du processus f (X) est équivalente à celle d’un mouvement
brownien. Nous en déduisons que pour tout t > 0, la variable aléatoire f (X t ) admet une
densité par rapport à la mesure de Lebesgue et il existe une fonction h t mesurable positive
d’intégrale 1 telle que pour toute fonction continue bornée g,
E(g ◦ f (X t )) =
R
g(z)h t (z)dz.
La bijectivité de f permet de conclure.
Prouver dans un cadre plus général l’existence de densité pour les marginales de la solution
d’une équation différentielle stochastique et en montrer la régularité est l’objet du calcul de
Malliavin. De nombreux résultats existent, en particulier dans le cas multi-dimensionnel,
dépendant des propriétés de la matrice σ.
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Dans le cas où la loi de X t issue de x admet une densité p t (x, y) deux fois dérivable en x,
nous en déduisons que
P t f (x) = f (x) +
t
0
A(P s f )(x)ds
= f (x) +
t
0
b(x)
∂
∂x
p s (x, y)f (y)dy
+
1
2
σ
2 (x)
∂
2
∂x 2
p s (x, y)f (y)dy
ds.
Finalement, nous obtenons pour tout y,
∂
∂t
(p t (x, y)) = b(x)
∂
∂x
p t (x, y) +
1
2
σ
2 (x)
∂
2
∂x 2 p t (x, y).
(4.6.23)
Nous avons ainsi exhibé des solutions d’équations aux dérivées partielles à partir d’objets
probabilistes. Ces équations modélisent macroscopiquement (en moyenne) un phénomène
dont les fluctuations aléatoires sont décrites par le processus de diffusion sous-jacent.
Sous certaines hypothèses, il est possible de prouver que la loi de X t sachant que X 0 = x
admet une densité. Par exemple nous avons le
Théorème 4.6.20 Si la fonction b est lipschitzienne bornée et si σ est de classe C
1
b avec
σ(x) ≥ σ
∗ > 0 pour tout x, alors pour tout t > 0, il existe une fonction (x, y) → p t (x, y)
sur R × R, telle que P t f (x) =
p t (x, y)f (y)dy, (et ceci même si la condition initiale est
déterministe).
Preuve. Ce résultat montre l’effet de régularisation dû au mouvement brownien. Donnons
une idée succincte de la preuve. Grâce aux propriétés de σ, la fonction f (x) =
x
0
1
σ(u)
du
est bijective et de classe C
2 . Nous pouvons appliquer la formule d’Itô.
f (X t ) = f (X 0 ) + B t +
t
0
b(X s )
σ(X s )
− σ
(X s )
ds.
Le processus (f (X t )) t est donc la somme d’un mouvement brownien et d’un terme de
dérive à coefficient borné. Nous utilisons alors un théorème très connu appelé Théorème
de Girsanov (mais qui sort du cadre de ce cours, voir par exemple [45] Chap. 3) qui
montre en particulier que la loi du processus f (X) est équivalente à celle d’un mouvement
brownien. Nous en déduisons que pour tout t > 0, la variable aléatoire f (X t ) admet une
densité par rapport à la mesure de Lebesgue et il existe une fonction h t mesurable positive
d’intégrale 1 telle que pour toute fonction continue bornée g,
E(g ◦ f (X t )) =
R
g(z)h t (z)dz.
La bijectivité de f permet de conclure.
Prouver dans un cadre plus général l’existence de densité pour les marginales de la solution
d’une équation différentielle stochastique et en montrer la régularité est l’objet du calcul de
Malliavin. De nombreux résultats existent, en particulier dans le cas multi-dimensionnel,
dépendant des propriétés de la matrice σ.
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