1 6 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Nous pouvons en déduire par le théorème de convergence dominée que pour f dans C
2
b ,
la fonction t → P t f (x) est dérivable en 0 pour chaque x.
Plus généralement, nous pouvons définir le générateur infinitésimal A de (X t , t ≤ T ) de
la manière suivante :
Définition 4.6.19 Le générateur infinitésimal de (X t , t ≤ T ) est défini sur son domaine
de définition par
Af (x) = lim
t→0,t>0
P t f (x) − f (x)
t
= b(x) f
(x) +
1
2
σ
2 (x) f
(x),
(4.6.20)
où la convergence est une convergence simple bornée.
En particulier, les fonctions de C
2
b sont dans le domaine de A.
Ainsi, pour tout x ∈ R,
P t f (x) = f (x) +
t
0
P s (Af )(x)ds,
et nous obtenons alors l’équation de Kolmogorov progressive :
∂
∂t
P t f (x) = P t (Af )(x).
De plus, si la loi de X t issue de x admet une densité p t (x, y), nous aurons alors P t f (x) =
R
f (y) p t (x, y)dy et pour f C
∞ à support compact,
R
f (y)p t (x, y)dy = f (x) +
t
0
R
f
(y)b(y) +
1
2
σ
2 (y)f
(y)
p s (x, y)dy ds,
= f (x) +
R
f (y)
t
0
−
∂
∂y
(b(y)p s (x, y)) +
1
2
∂
2
∂y 2 (σ
2 (y)p s (x, y))
ds dy,
en utilisant une intégration par parties et le théorème de Fubini. Nous en déduisons que
pour tout x, (p t (x, .)) est solution (faible) de l’équation aux dérivées partielles
∂
∂t
(p t (x, y)) = −
∂
∂y
(b(y)p t (x, y)) +
1
2
∂
2
∂y 2 (σ
2 (y)p t (x, y)).
(4.6.21)
Cette équation est appelée équation de Fokker-Planck .
Si les coefficients σ et b sont réguliers et la densité p t (x, y) est une fonction régulière de
(t, y), cette densité est une solution forte de l’équation (4.6.21).
De la dérivation de la deuxième égalité de (4.6.16) par rapport à s, au point s = 0, se
déduit une deuxième équation, dite équation de Kolmogorov rétrograde :
∂
∂t
P t f (x) = A(P t f )(x).
(4.6.22)
2
Nous pouvons en déduire par le théorème de convergence dominée que pour f dans C
2
b ,
la fonction t → P t f (x) est dérivable en 0 pour chaque x.
Plus généralement, nous pouvons définir le générateur infinitésimal A de (X t , t ≤ T ) de
la manière suivante :
Définition 4.6.19 Le générateur infinitésimal de (X t , t ≤ T ) est défini sur son domaine
de définition par
Af (x) = lim
t→0,t>0
P t f (x) − f (x)
t
= b(x) f
(x) +
1
2
σ
2 (x) f
(x),
(4.6.20)
où la convergence est une convergence simple bornée.
En particulier, les fonctions de C
2
b sont dans le domaine de A.
Ainsi, pour tout x ∈ R,
P t f (x) = f (x) +
t
0
P s (Af )(x)ds,
et nous obtenons alors l’équation de Kolmogorov progressive :
∂
∂t
P t f (x) = P t (Af )(x).
De plus, si la loi de X t issue de x admet une densité p t (x, y), nous aurons alors P t f (x) =
R
f (y) p t (x, y)dy et pour f C
∞ à support compact,
R
f (y)p t (x, y)dy = f (x) +
t
0
R
f
(y)b(y) +
1
2
σ
2 (y)f
(y)
p s (x, y)dy ds,
= f (x) +
R
f (y)
t
0
−
∂
∂y
(b(y)p s (x, y)) +
1
2
∂
2
∂y 2 (σ
2 (y)p s (x, y))
ds dy,
en utilisant une intégration par parties et le théorème de Fubini. Nous en déduisons que
pour tout x, (p t (x, .)) est solution (faible) de l’équation aux dérivées partielles
∂
∂t
(p t (x, y)) = −
∂
∂y
(b(y)p t (x, y)) +
1
2
∂
2
∂y 2 (σ
2 (y)p t (x, y)).
(4.6.21)
Cette équation est appelée équation de Fokker-Planck .
Si les coefficients σ et b sont réguliers et la densité p t (x, y) est une fonction régulière de
(t, y), cette densité est une solution forte de l’équation (4.6.21).
De la dérivation de la deuxième égalité de (4.6.16) par rapport à s, au point s = 0, se
déduit une deuxième équation, dite équation de Kolmogorov rétrograde :
∂
∂t
P t f (x) = A(P t f )(x).
(4.6.22)
2