4.6. INTÉGRALES STOCHASTIQUES ET EDS
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Théorème 4.6.17 Considérons une solution X de (4.6.13) : pour tout 1 ≤ i ≤ d,
X
i
t = X
i
0 +
m
j=1
t
0
σ i,j (X s )dB
j
s +
t
0
b i (X s )ds.
Alors pour toute fonction φ de classe C
2
b de R
d dans R, nous avons
φ(X t ) = φ(X 0 ) +
t
0
d
i=1
∂ i φ(X s )b i (X s )ds +
m
j=1
t
0
d
i=1
∂ i φ(X s )σ i,j (X s )dB
j
s
+
1
2
t
0
d
i,k=1
(σσ
t ) i,k (X s )∂
2
ik φ(X s )ds.
Corollaire 4.6.18 Si X est solution de l’EDS uni-dimensionnelle (4.6.9) et si ψ(t, x) est
une fonction définie sur R + × R de classe C
1
b en t et C
2
b en x, alors
ψ(t, X t ) = ψ(0, X 0 ) +
t
0
∂ x ψ(s, X s )σ(X s )dB s
+
t
0
∂ t ψ(s, X s ) + ∂ x ψ(s, X s )b(X s ) +
1
2
∂
2
x ψ(s, X s )σ
2 (X s )
ds.
La formule d’Itô est fondamentale et extrêmement utile. Nous en verrons de nombreuses
applications dans la suite de cet ouvrage. Elle nous permet en particulier de montrer
dans le paragraphe suivant les liens qui unissent la solution d’une équation différentielle
stochastique et la solution d’une équation aux dérivées partielles, liens qui nous seront
utiles pour faire des calculs explicites liés à ces diffusions.
4.6.6 Générateur - Lien avec les équations aux dérivées partielles
Soit (X t , t ≤ T ) la solution de l’équation différentielle stochastique (4.6.9). Supposons que
les fonctions σ et b soient des fonctions lipschitziennes et bornées. Pour toute fonction f
bornée de classe C
2 à dérivées bornées, le processus
t
0
f
(X s )σ(X s ) dB s est une martingale, puisque l’intégrande est adapté, continu et borné. Prenons l’espérance de chaque
terme dans (4.6.18). Alors,
E(f (X t )) = E(f (X 0 )) +
t
0
E
f
(X s )b(X s ) +
1
2
σ
2 (X s )f
(X s )
ds.
Cela entraîne que la famille d’opérateurs (P t ) définie en (4.6.15) satisfait
P t f (x) = f (x) +
t
0
P s
f
b +
1
2
σ
2 f
(x) ds.
2