1 4 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Comme |θ i − t i−1 | ≤
t
n
, que t → B t est presque-sûrement uniformément continue sur
[0, T ],
sup i |f
(B θi ) − f
(B ti−1 )|
2
tend presque-sûrement vers 0 quand n tend vers l’infini. Comme f
est continue et bornée,
sup
i
|f
(B θi ) − f
(B ti−1 )|
2
n
i=1
(B ti − B ti−1 )
2
2 ≤ 2f
2
∞
n
i=1
(B ti − B ti−1 )
2
2
,
et E
n
i=1 (B ti − B ti−1 )
2
2
est borné par C
te t
2 . Nous en déduisons par théorème de
convergence dominée que
n
i=1 f
(B θi )(B ti −B ti−1 )
2
−
n
i=1 f
(B ti−1 )(B ti −B ti−1 )
2 converge
vers 0 dans L
2 .
De plus, par un raisonnement désormais classique (en introduisant les conditionnements
adhoc, cf Proposition 4.3.5), nous avons
E
n
i=1
f
(B ti−1 )(B ti − B ti−1 )
2 −
n
i=1
f
(B ti−1 )(t i − t i−1 )
2
≤ ≤f
2
∞
n
i=1
E
(B ti − B ti−1 )
2 − (t i − t i−1 )
2
≤ 2 f
2
∞
n
i=1
(t i − t i−1 )
2
≤
2t
2
n
f
2
∞
qui tend vers 0 quand n tend vers l’infini. En regroupant toutes ces remarques, nous obtenons finalement la formule d’Itô pour f (B t ). Nous pourrions sans peine généraliser ce
raisonnement à tout processus X t solution d’une EDS.
Remarque 4.6.15 1) Si f est de classe C
2 , la formule est encore vraie tant que chaque
terme de la formule d’Itô a du sens. Rappelons que le terme stochastique sera bien défini
dès que E
t
0
(f
(B s ))
2 ds
< ∞.
2) Comme X est solution de l’EDS (4.6.9), X t est la somme d’une martingale et d’un
terme à variation finie. Dans ce cas, on dit que (X t , t ≥ 0) est une semi-martingale. Si f
est de classe C
2 , le processus f (X t ) garde cette structure de semi-martingale.
Exemple 4.6.16 La formule d’Itô appliquée à f (x) = x
2 et à X solution de l’EDS (4.6.9)
donne
X
2
t = X
2
0 + 2
t
0
X s σ(X s )dB s +
t
0
(2X s b(X s ) + σ
2 (X s ))ds.
Il existe une version multi-dimensionnelle de la formule d’Itô, qui se démontre par des
arguments analogues.
2
Comme |θ i − t i−1 | ≤
t
n
, que t → B t est presque-sûrement uniformément continue sur
[0, T ],
sup i |f
(B θi ) − f
(B ti−1 )|
2
tend presque-sûrement vers 0 quand n tend vers l’infini. Comme f
est continue et bornée,
sup
i
|f
(B θi ) − f
(B ti−1 )|
2
n
i=1
(B ti − B ti−1 )
2
2 ≤ 2f
2
∞
n
i=1
(B ti − B ti−1 )
2
2
,
et E
n
i=1 (B ti − B ti−1 )
2
2
est borné par C
te t
2 . Nous en déduisons par théorème de
convergence dominée que
n
i=1 f
(B θi )(B ti −B ti−1 )
2
−
n
i=1 f
(B ti−1 )(B ti −B ti−1 )
2 converge
vers 0 dans L
2 .
De plus, par un raisonnement désormais classique (en introduisant les conditionnements
adhoc, cf Proposition 4.3.5), nous avons
E
n
i=1
f
(B ti−1 )(B ti − B ti−1 )
2 −
n
i=1
f
(B ti−1 )(t i − t i−1 )
2
≤ ≤f
2
∞
n
i=1
E
(B ti − B ti−1 )
2 − (t i − t i−1 )
2
≤ 2 f
2
∞
n
i=1
(t i − t i−1 )
2
≤
2t
2
n
f
2
∞
qui tend vers 0 quand n tend vers l’infini. En regroupant toutes ces remarques, nous obtenons finalement la formule d’Itô pour f (B t ). Nous pourrions sans peine généraliser ce
raisonnement à tout processus X t solution d’une EDS.
Remarque 4.6.15 1) Si f est de classe C
2 , la formule est encore vraie tant que chaque
terme de la formule d’Itô a du sens. Rappelons que le terme stochastique sera bien défini
dès que E
t
0
(f
(B s ))
2 ds
< ∞.
2) Comme X est solution de l’EDS (4.6.9), X t est la somme d’une martingale et d’un
terme à variation finie. Dans ce cas, on dit que (X t , t ≥ 0) est une semi-martingale. Si f
est de classe C
2 , le processus f (X t ) garde cette structure de semi-martingale.
Exemple 4.6.16 La formule d’Itô appliquée à f (x) = x
2 et à X solution de l’EDS (4.6.9)
donne
X
2
t = X
2
0 + 2
t
0
X s σ(X s )dB s +
t
0
(2X s b(X s ) + σ
2 (X s ))ds.
Il existe une version multi-dimensionnelle de la formule d’Itô, qui se démontre par des
arguments analogues.
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