1 2 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Il s’en suit que la variable aléatoire X T +t dépend seulement de X T et de B
T , et la loi
conditionnelle de X T +t sachant X T = x est égale à la loi de X t si X 0 = x. Nous en
déduisons alors que X est un processus de Markov homogène.
En reprenant l’argument précédent pour un temps d’arrêt T fini au lieu d’un temps fixe,
nous obtenons également la propriété de Markov forte pour X.
Dans la suite, nous noterons (P t ) t≥0 le semi-groupe de transition de la solution X de
l’équation différentielle stochastique (4.6.8), défini pour toute fonction continue bornée f
par
P t f (x) = E(f (X t )|X 0 = x).
(4.6.15)
Par la propriété de Markov, il est possible de montrer la propriété de semi-groupe, comme
dans le cas brownien :
P t+s f = P t (P s f ) = P s (P t f ).
(4.6.16)
4.6.5 Formule d’Itô
Quand t → x(t) est une fonction réelle, continue et à variation finie, la formule d’intégration par parties implique que pour toute fonction f continûment dérivable, on a
f (x(t)) = f (x(0)) +
t
0
f
(x(s))dx(s).
(4.6.17)
Celle-ci devient fausse quand la fonction x est remplacée par un mouvement brownien B.
En effet, si (4.6.17) était vraie, en prenant f (x) = x
2 , nous obtiendrions B
2
t = 2
t
0
B s dB s
et, puisque le processus défini par l’intégrale stochastique est encore une martingale, nous
pourrions en déduire que B
2
t est une martingale. Or, nous avons vu à la Proposition 4.5.3
que le processus B
2
t − t est aussi une martingale. Par différence, le “processus” t devrait
alors être une martingale, ce qui est évidemment faux.
Ainsi (4.6.17) est fausse pour le mouvement brownien. Pour obtenir une formule juste, il
faut ajouter un terme et supposer plus de régularité sur f .
Théorème 4.6.14 (Formule d’Itô). Considérons X solution de l’équation différentielle
stochastique (4.6.9). Soit f une fonction de classe C
2 , bornée et à dérivées bornées, alors
on a
f (X t ) = f (X 0 ) +
t
0
f
(X s )b(X s )ds +
t
0
f
(X s )σ(X s )dB s +
1
2
t
0
f
(X s )σ
2 (X s ) ds,
(4.6.18)
où f
est la première et f
la seconde dérivées de f .
2
Il s’en suit que la variable aléatoire X T +t dépend seulement de X T et de B
T , et la loi
conditionnelle de X T +t sachant X T = x est égale à la loi de X t si X 0 = x. Nous en
déduisons alors que X est un processus de Markov homogène.
En reprenant l’argument précédent pour un temps d’arrêt T fini au lieu d’un temps fixe,
nous obtenons également la propriété de Markov forte pour X.
Dans la suite, nous noterons (P t ) t≥0 le semi-groupe de transition de la solution X de
l’équation différentielle stochastique (4.6.8), défini pour toute fonction continue bornée f
par
P t f (x) = E(f (X t )|X 0 = x).
(4.6.15)
Par la propriété de Markov, il est possible de montrer la propriété de semi-groupe, comme
dans le cas brownien :
P t+s f = P t (P s f ) = P s (P t f ).
(4.6.16)
4.6.5 Formule d’Itô
Quand t → x(t) est une fonction réelle, continue et à variation finie, la formule d’intégration par parties implique que pour toute fonction f continûment dérivable, on a
f (x(t)) = f (x(0)) +
t
0
f
(x(s))dx(s).
(4.6.17)
Celle-ci devient fausse quand la fonction x est remplacée par un mouvement brownien B.
En effet, si (4.6.17) était vraie, en prenant f (x) = x
2 , nous obtiendrions B
2
t = 2
t
0
B s dB s
et, puisque le processus défini par l’intégrale stochastique est encore une martingale, nous
pourrions en déduire que B
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t est une martingale. Or, nous avons vu à la Proposition 4.5.3
que le processus B
2
t − t est aussi une martingale. Par différence, le “processus” t devrait
alors être une martingale, ce qui est évidemment faux.
Ainsi (4.6.17) est fausse pour le mouvement brownien. Pour obtenir une formule juste, il
faut ajouter un terme et supposer plus de régularité sur f .
Théorème 4.6.14 (Formule d’Itô). Considérons X solution de l’équation différentielle
stochastique (4.6.9). Soit f une fonction de classe C
2 , bornée et à dérivées bornées, alors
on a
f (X t ) = f (X 0 ) +
t
0
f
(X s )b(X s )ds +
t
0
f
(X s )σ(X s )dB s +
1
2
t
0
f
(X s )σ
2 (X s ) ds,
(4.6.18)
où f
est la première et f
la seconde dérivées de f .
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