4.6. INTÉGRALES STOCHASTIQUES ET EDS
1 1
de dm fonctions boréliennes et B = (B
j ) 1≤j≤m un mouvement brownien m-dimensionnel.
Dans ce cas, nous pouvons définir la solution d’un système d’équations différentielles
stochastiques comme suit.
Définition 4.6.12 Etant donnés un mouvement brownien m-dimensionnel B et un vecteur aléatoire X 0 ∈ R
d indépendant de B, on appelle solution du système différentiel
stochastique
dX t = σ(X t ).dB t + b(X t )dt
un processus X = (X
i ) 1≤i≤d continu adapté et à valeurs dans R
d tel que
X t = X 0 +
t
0
σ(X s ).dB s +
t
0
b(X s )ds,
au sens où pour tout 1 ≤ i ≤ d,
X
i
t = X
i
0 +
m
j=1
t
0
σ ij (X s )dB
j
s +
t
0
b i (X s )ds.
(4.6.13)
Par une preuve analogue à celle du Théorème 4.6.7 en remplaçant la valeur absolue par
la norme euclidienne dans R
d , il est facile de montrer que si les coefficients b i et σ i,j sont
lipschitziens (pour tous i et j) et si X 0 est de carré intégrable, il existe une unique solution
à (4.6.13) de carré intégrable uniformément sur [0, T ].
2
4.6.4 Propriété de Markov d’une solution d’EDS
Dans toute la suite, nous nous pla ons sous les hypoth ses du Th or me 4.6.7 et nous avons
l’existence et l’unicité trajectorielle d’une solution à l’équation différentielle stochastique
(4.6.8) sur tout R + , au sens où la solution existe et est unique sur tout intervalle de
temps fermé borné de R +
.
Théorème 4.6.13 Le processus X, solution de l’équation différentielle stochastique (4.6.8)
est un processus de Markov homogène. C’est même un processus fortement markovien.
Preuve. Fixons T > 0. Nous considérons alors l’équation différentielle stochastique suivante,
dX
t = b(X
t ) dt + σ(X
t ) dB
T
t ,
X
0 = X T ,
(4.6.14)
où B
T
t = B T +t − B T . Le processus B
T est encore un mouvement brownien, indépendant
du passé avant T , et donc indépendant de X T . Les coefficients dans l’équation (4.6.14)
étant lipschitziens, la solution X
existe et est unique.
Définissons maintenant un nouveau processus X
par X
t = X t si t < T et X
t = X
t−T si
t ≥ T . Clairement, au vu de (4.6.14), X
satisfait l’équation (4.6.9). Ainsi, par l’unicité,
on obtient X
= X, et X T +t = X
t si t ≥ 0.
é
ç
è
è
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de dm fonctions boréliennes et B = (B
j ) 1≤j≤m un mouvement brownien m-dimensionnel.
Dans ce cas, nous pouvons définir la solution d’un système d’équations différentielles
stochastiques comme suit.
Définition 4.6.12 Etant donnés un mouvement brownien m-dimensionnel B et un vecteur aléatoire X 0 ∈ R
d indépendant de B, on appelle solution du système différentiel
stochastique
dX t = σ(X t ).dB t + b(X t )dt
un processus X = (X
i ) 1≤i≤d continu adapté et à valeurs dans R
d tel que
X t = X 0 +
t
0
σ(X s ).dB s +
t
0
b(X s )ds,
au sens où pour tout 1 ≤ i ≤ d,
X
i
t = X
i
0 +
m
j=1
t
0
σ ij (X s )dB
j
s +
t
0
b i (X s )ds.
(4.6.13)
Par une preuve analogue à celle du Théorème 4.6.7 en remplaçant la valeur absolue par
la norme euclidienne dans R
d , il est facile de montrer que si les coefficients b i et σ i,j sont
lipschitziens (pour tous i et j) et si X 0 est de carré intégrable, il existe une unique solution
à (4.6.13) de carré intégrable uniformément sur [0, T ].
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4.6.4 Propriété de Markov d’une solution d’EDS
Dans toute la suite, nous nous pla ons sous les hypoth ses du Th or me 4.6.7 et nous avons
l’existence et l’unicité trajectorielle d’une solution à l’équation différentielle stochastique
(4.6.8) sur tout R + , au sens où la solution existe et est unique sur tout intervalle de
temps fermé borné de R +
.
Théorème 4.6.13 Le processus X, solution de l’équation différentielle stochastique (4.6.8)
est un processus de Markov homogène. C’est même un processus fortement markovien.
Preuve. Fixons T > 0. Nous considérons alors l’équation différentielle stochastique suivante,
dX
t = b(X
t ) dt + σ(X
t ) dB
T
t ,
X
0 = X T ,
(4.6.14)
où B
T
t = B T +t − B T . Le processus B
T est encore un mouvement brownien, indépendant
du passé avant T , et donc indépendant de X T . Les coefficients dans l’équation (4.6.14)
étant lipschitziens, la solution X
existe et est unique.
Définissons maintenant un nouveau processus X
par X
t = X t si t < T et X
t = X
t−T si
t ≥ T . Clairement, au vu de (4.6.14), X
satisfait l’équation (4.6.9). Ainsi, par l’unicité,
on obtient X
= X, et X T +t = X
t si t ≥ 0.
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