1 0 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Il existe un résultat d’existence et unicité trajectorielle de la solution de l’EDS (4.6.9) qui
ne nécessite pas la lipschitzianité du coefficient de diffusion σ.
Théorème 4.6.11 Soit X 0 ∈ L
2 . Nous supposons que les fonctions b et σ sont boréliennes
et satisfont
|b(x) − b(y)| + |σ(x) − σ(y)|
2 ≤ C|x − y|.
(4.6.12)
Dans ce cas, il existe sur tout intervalle de temps [0, T ] une unique (à indistinguabilité
près) solution trajectorielle à l’EDS (4.6.9) issue de X 0 .
Preuve. Nous ne donnerons ici que quelques arguments de preuve. Pour la preuve complète, nous renvoyons le lecteur à [45] Chapitre 5.5 ou à [40] chap.IV Théorèmes 2.2 et
3.3.
Le Théorème 3.2 de [40] prouve l’unicité forte d’une solution de cette équation. Le Théorème
2.2 de [40] montre que dès que les coefficients b et σ sont continus et bornés sur R, il existe
une solution (X, B) à (4.6.9), obtenue comme limite (en loi) de processus discrétisés (en
temps). Appliquons ce résultat à notre cas. Introduisons pour tout n ∈ N
∗ le temps d’arrêt
T n = inf{t ≥ 0, X t = n}. Nous pouvons en déduire, en considérant les restrictions des
coefficients b et σ à l’intervalle [0, n] que la solution X t∧Tn est bien définie pour tout n et
que de plus (par des arguments de calcul stochastique que nous avons déjà utilisés)
E
sup
s≤t
(X s∧Tn )
2
≤
C
1 +
t
0
E
sup
u≤s
(X u∧Tn )
2
ds
,
où
C est une constante positive indépendante de n. Puisque le processus est borné par n
avant T n , le lemme de Gronwall implique que sup n E
sup t≤T ∧Tn (X t )
2
< +∞. Par les arguments utilisés dans la preuve du Théorème 4.6.7, nous en déduisons que la suite (T n ) n
converge p.s. vers l’infini, qu’une solution est bien définie sur tout intervalle de temps
[0, T ] et que de plus elle vérifie E
sup t≤T (X t )
2
< +∞.
L’hypothèse (4.6.12) permet à σ d’être seulement höldérienne de coefficient 1/2. Dans la
suite, nous utiliserons ce résultat avec σ(x) =
√
x dans le cas de la diffusion de Feller
(4.7.26) ou σ(x) =
x(1 − x) dans le cas de la diffusion de Wright-Fisher (4.7.31). Ces
processus sont classiques en dynamique des populations ou en génétique des populations
et leur justification à partir de modèles discrets sera développée aux Chapitres 5 et 6. Nous
donnerons quelques propriétés de l’équation de Feller et de l’équation de Wright-Fisher à
la fin de ce chapitre.
4.6.3 Système différentiel stochastique
Nous avons défini une équation différentielle stochastique en dimension 1 mais cette notion
peut se généraliser en dimension d, dès lors que sont donnés un vecteur b(·) = (b i (·)) 1≤i≤d ,
composé de d fonctions boréliennes, une matrice σ(·) = ((σ i,j (·))) 1≤i≤d,1≤j≤m composée
2
Il existe un résultat d’existence et unicité trajectorielle de la solution de l’EDS (4.6.9) qui
ne nécessite pas la lipschitzianité du coefficient de diffusion σ.
Théorème 4.6.11 Soit X 0 ∈ L
2 . Nous supposons que les fonctions b et σ sont boréliennes
et satisfont
|b(x) − b(y)| + |σ(x) − σ(y)|
2 ≤ C|x − y|.
(4.6.12)
Dans ce cas, il existe sur tout intervalle de temps [0, T ] une unique (à indistinguabilité
près) solution trajectorielle à l’EDS (4.6.9) issue de X 0 .
Preuve. Nous ne donnerons ici que quelques arguments de preuve. Pour la preuve complète, nous renvoyons le lecteur à [45] Chapitre 5.5 ou à [40] chap.IV Théorèmes 2.2 et
3.3.
Le Théorème 3.2 de [40] prouve l’unicité forte d’une solution de cette équation. Le Théorème
2.2 de [40] montre que dès que les coefficients b et σ sont continus et bornés sur R, il existe
une solution (X, B) à (4.6.9), obtenue comme limite (en loi) de processus discrétisés (en
temps). Appliquons ce résultat à notre cas. Introduisons pour tout n ∈ N
∗ le temps d’arrêt
T n = inf{t ≥ 0, X t = n}. Nous pouvons en déduire, en considérant les restrictions des
coefficients b et σ à l’intervalle [0, n] que la solution X t∧Tn est bien définie pour tout n et
que de plus (par des arguments de calcul stochastique que nous avons déjà utilisés)
E
sup
s≤t
(X s∧Tn )
2
≤
C
1 +
t
0
E
sup
u≤s
(X u∧Tn )
2
ds
,
où
C est une constante positive indépendante de n. Puisque le processus est borné par n
avant T n , le lemme de Gronwall implique que sup n E
sup t≤T ∧Tn (X t )
2
< +∞. Par les arguments utilisés dans la preuve du Théorème 4.6.7, nous en déduisons que la suite (T n ) n
converge p.s. vers l’infini, qu’une solution est bien définie sur tout intervalle de temps
[0, T ] et que de plus elle vérifie E
sup t≤T (X t )
2
< +∞.
L’hypothèse (4.6.12) permet à σ d’être seulement höldérienne de coefficient 1/2. Dans la
suite, nous utiliserons ce résultat avec σ(x) =
√
x dans le cas de la diffusion de Feller
(4.7.26) ou σ(x) =
x(1 − x) dans le cas de la diffusion de Wright-Fisher (4.7.31). Ces
processus sont classiques en dynamique des populations ou en génétique des populations
et leur justification à partir de modèles discrets sera développée aux Chapitres 5 et 6. Nous
donnerons quelques propriétés de l’équation de Feller et de l’équation de Wright-Fisher à
la fin de ce chapitre.
4.6.3 Système différentiel stochastique
Nous avons défini une équation différentielle stochastique en dimension 1 mais cette notion
peut se généraliser en dimension d, dès lors que sont donnés un vecteur b(·) = (b i (·)) 1≤i≤d ,
composé de d fonctions boréliennes, une matrice σ(·) = ((σ i,j (·))) 1≤i≤d,1≤j≤m composée
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