1 8 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
(ii) Existence. L’idée consiste à définir de manière itérative la suite de processus (X
n ) n
sur [0, T ] par X
0
t = X 0 et pour tout n, par
X
n
t = X 0 +
t
0
b(X
n−1
s
)ds +
t
0
σ(X
n−1
s
)dB s .
Montrons tout d’abord que les processus X
n appartiennent à L
2
T . Fixons n. Nous allons
utiliser une technique de localisation, en introduisant pour k ∈ N
∗ les temps d’arrêt
T k = inf{t > 0, |X
n
t | ≥ k},
avec la convention inf ∅ = +∞. Ainsi à k fixé, les variables aléatoires X
n
t∧T k
sont bornées.
Comme b et σ, étant lispchitziennes, sont bornées par des fonctions affines, les variables
aléatoires b(X
n
t∧T k
) et σ(X
n
t∧T k
) sont également bornées. En particulier,
t∧T k
0
σ(X
n
s )dB s
est une martingale.
En appliquant alors l’inégalité de Hölder au terme de dérive et l’inégalité de martingale
(4.5.6) à l’intégrale stochastique avec p = 2, nous avons pour tout u ≤ T ,
E
sup
t≤u
|X
n
t∧Tk |
2
≤ 4 E
X
2
0 + sup
t≤u
t∧Tk
0
b(X
n−1
s
)ds
2
+ sup
t≤u
t∧Tk
0
σ(X
n−1
s
)dB s
2
≤ 4
E(X
2
0 ) + T
u∧Tk
0
E(|b(X
n−1
s
)|
2 )ds + 4
u∧Tk
0
E(|σ(X
n−1
s
)|
2 )ds
≤ 4
E(X
2
0 ) + T
u∧Tk
0
E(sup
v≤s
|b(X
n−1
v
)|
2 )ds + 4
u∧Tk
0
E(sup
v≤s
|σ(X
n−1
v
)|
2 )ds
≤
C(b, σ, T )
E(X
2
0 ) +
u∧Tk
0
E(sup
v≤s
|X
n−1
v
|
2 )ds
,
où
C(b, σ, T ) est une constante indépendante de k. De proche en proche, nous pouvons
en déduire que
E
sup
t≤T
|X
n
t∧T k
|
2
≤ C(b, σ, T ),
et C(b, σ, T ) ne dépend pas de k.
En particulier, cela entraîne que la suite (T k ) k converge p.s. vers l’infini. En effet, dans
le cas contraire, il existerait un temps
T tel que P(sup k T k <
T ) > 0. Nous aurions alors
E
sup t≤
T ∧T k
(X
n
t )
2
≥ k
2
P(sup k T k <
T ), ce qui contredirait la finitude du supremum en
k du terme de gauche. Nous en déduisons que
E
sup
t≤T
(X
n
t )
2
< +∞.
Par des calculs analogues, nous pouvons montrer qu’il existe une constante C > 0 telle
que pour tout n,
E
sup
s≤t
|X
n
s − X
n−1
s
|
2
≤ C
t
0
E
sup
u≤s
|X
n−1
u
− X
n−2
u
|
2
ds.
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