4.6. INTÉGRALES STOCHASTIQUES ET EDS
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Preuve. L’argument de la preuve consiste essentiellement en un théorème de point fixe
dans L
2
T . Notons par K b et K σ les constantes de Lipschitz de b et σ. Remarquons que
dans ce cas, les deux fonctions b et σ sont sous-linéaires, au sens où il existe une constante
˜
K b > 0 telle que |b(x)|
2
≤ ˜
K b (1 + |x|
2 ) et même chose pour σ.
(i) Unicité. Supposons qu’il existe deux processus X et Y appartenant à L
2
T et solutions
de (4.6.9). Remarquons que dans ce cas, E(sup t≤T |b(X t )|
2 ) < +∞ et il en sera de même
en remplaçant X par Y ou b par σ. Nous avons alors
E(|X t − Y t |
2 ) ≤ 2 E
t
0
(b(X s ) − b(Y s ))ds
2
+
t
0
(σ(X s ) − σ(Y s ))dB s
2
≤ 2
T
t
0
E(|b(X s ) − b(Y s )|
2 )ds +
t
0
E(|σ(X s ) − σ(Y s )|
2 )ds
≤ 2
T K
2
b + K
2
σ
t
0
E(|X s − Y s |
2 )ds.
Nous avons utilisé l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour le premier terme de l’inégalité et
l’isométrie (4.6.7) pour le deuxième terme, puis la propriété de lipschitzianité de σ et b.
La fonction s → E(|X s −Y s |
2 ) est borélienne bornée par hypothèse car X −Y appartient à
L
2
T . Nous pouvons alors appliquer le lemme de Gronwall à cette fonction (voir le Lemme
4.6.9 ci-dessous) et en déduire ainsi que pour tout t, X t = Y t presque-sûrement. Ainsi pour
tout t rationnel il existe un ensemble négligeable N t tel que si ω /
∈ N t , X t (ω) = Y t (ω).
Mais alors, N = ∪ t∈Q∩[0,T ] N t est un ensemble négligeable comme réunion dénombrable
d’ensembles négligeables. De plus, pour tout ω /
∈ N , pour tout t ∈ Q ∩ [0, T ], X t (ω) =
Y t (ω). La continuité de X et Y permet alors d’en conclure que les trajectoires de X et Y
coïncident presque sûrement et que ces deux processus sont donc indistinguables.
Remarquons qu’une autre preuve de ce résultat utilise l’inégalité de Hölder pour le terme
de dérive et l’inégalité de martingale (4.5.6), appliquée à la martingale
t
0
σ(X s )dB s et à
p = 2. En effet, pour tout u ≤ T ,
E
sup
t≤u
|X t − Y t |
2
≤ 2 E
sup
t≤u
t
0
(b(X s ) − b(Y s ))ds
2
+ sup
t≤u
t
0
(σ(X s ) − σ(Y s ))dB s
2
≤ 2
T
u
0
E(|b(X s ) − b(Y s )|
2 )ds + 4
u
0
E(|σ(X s ) − σ(Y s )|
2 )ds
≤ 2
T
u
0
E(sup
v≤s
|b(X v ) − b(Y v )|
2 )ds + 4
u
0
E(sup
v≤s
|σ(X v ) − σ(Y v )|
2 )ds
≤ 2
T K b + 4K σ
u
0
E(sup
v≤s
|X v − Y v |
2 )ds,
ce qui donne également le résultat puisque dans ce cas nous obtenons immédiatement
grâce au lemme de Gronwall que les processus X et Y sont indistinguables sur [0, T ].
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Preuve. L’argument de la preuve consiste essentiellement en un théorème de point fixe
dans L
2
T . Notons par K b et K σ les constantes de Lipschitz de b et σ. Remarquons que
dans ce cas, les deux fonctions b et σ sont sous-linéaires, au sens où il existe une constante
˜
K b > 0 telle que |b(x)|
2
≤ ˜
K b (1 + |x|
2 ) et même chose pour σ.
(i) Unicité. Supposons qu’il existe deux processus X et Y appartenant à L
2
T et solutions
de (4.6.9). Remarquons que dans ce cas, E(sup t≤T |b(X t )|
2 ) < +∞ et il en sera de même
en remplaçant X par Y ou b par σ. Nous avons alors
E(|X t − Y t |
2 ) ≤ 2 E
t
0
(b(X s ) − b(Y s ))ds
2
+
t
0
(σ(X s ) − σ(Y s ))dB s
2
≤ 2
T
t
0
E(|b(X s ) − b(Y s )|
2 )ds +
t
0
E(|σ(X s ) − σ(Y s )|
2 )ds
≤ 2
T K
2
b + K
2
σ
t
0
E(|X s − Y s |
2 )ds.
Nous avons utilisé l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour le premier terme de l’inégalité et
l’isométrie (4.6.7) pour le deuxième terme, puis la propriété de lipschitzianité de σ et b.
La fonction s → E(|X s −Y s |
2 ) est borélienne bornée par hypothèse car X −Y appartient à
L
2
T . Nous pouvons alors appliquer le lemme de Gronwall à cette fonction (voir le Lemme
4.6.9 ci-dessous) et en déduire ainsi que pour tout t, X t = Y t presque-sûrement. Ainsi pour
tout t rationnel il existe un ensemble négligeable N t tel que si ω /
∈ N t , X t (ω) = Y t (ω).
Mais alors, N = ∪ t∈Q∩[0,T ] N t est un ensemble négligeable comme réunion dénombrable
d’ensembles négligeables. De plus, pour tout ω /
∈ N , pour tout t ∈ Q ∩ [0, T ], X t (ω) =
Y t (ω). La continuité de X et Y permet alors d’en conclure que les trajectoires de X et Y
coïncident presque sûrement et que ces deux processus sont donc indistinguables.
Remarquons qu’une autre preuve de ce résultat utilise l’inégalité de Hölder pour le terme
de dérive et l’inégalité de martingale (4.5.6), appliquée à la martingale
t
0
σ(X s )dB s et à
p = 2. En effet, pour tout u ≤ T ,
E
sup
t≤u
|X t − Y t |
2
≤ 2 E
sup
t≤u
t
0
(b(X s ) − b(Y s ))ds
2
+ sup
t≤u
t
0
(σ(X s ) − σ(Y s ))dB s
2
≤ 2
T
u
0
E(|b(X s ) − b(Y s )|
2 )ds + 4
u
0
E(|σ(X s ) − σ(Y s )|
2 )ds
≤ 2
T
u
0
E(sup
v≤s
|b(X v ) − b(Y v )|
2 )ds + 4
u
0
E(sup
v≤s
|σ(X v ) − σ(Y v )|
2 )ds
≤ 2
T K b + 4K σ
u
0
E(sup
v≤s
|X v − Y v |
2 )ds,
ce qui donne également le résultat puisque dans ce cas nous obtenons immédiatement
grâce au lemme de Gronwall que les processus X et Y sont indistinguables sur [0, T ].
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