1 6 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Définition 4.6.6 Sur un espace de probabilité (Ω, F, P), considérons un mouvement brownien (B t , t ≥ 0) et une variable aléatoire réelle X 0 indépendante de B. Soit (F t ) t≥0 la
filtration engendrée par le mouvement brownien B et par X 0 . Considérons également des
fonctions boréliennes b et σ, définies sur R. Nous appelons solution de l’équation différentielle stochastique (EDS)
dX t = b(X t )dt + σ(X t )dB t ; X 0
(4.6.8)
tout processus (X t , t ≥ 0) continu, adapté à la filtration (F t ) t≥0 et vérifiant pour tout
t ≥ 0,
X t = X 0 +
t
0
b(X s )ds +
t
0
σ(X s )dB s .
(4.6.9)
Observons que l’adaptation de X est nécessaire pour que l’intégrale stochastique dans
(4.6.9) ait un sens.
Nous allons chercher des conditions suffisantes pour avoir existence et unicité d’une solution. Dans le cas purement déterministe d’une équation différentielle ordinaire, de la
forme
dX t = b(X t )dt,
X 0 = x 0 ,
(4.6.10)
où la fonction b et la condition initiale x 0 sont données, un résultat classique (le théorème
de Cauchy-Lipschitz) énonce que (4.6.10) admet une et une seule solution dès que b est
lipschitzienne. Pour l’équation différentielle stochastique (4.6.8), nous pouvons prouver un
résultat analogue dans l’ensemble des processus adaptés, presque-sûrement à trajectoires
continues et de carré intégrable uniformément sur [0, T ] :
L
2
T =
X processus adapté continu, E
sup
t≤T
|X t |
2
< ∞
.
Théorème 4.6.7 Supposons que les coefficients b et σ soient lipschitziens et que la condition initiale X 0 soit dans L
2 . Alors pour tout T > 0, il existe une unique (à indistinguabilité près) solution (X t , t ∈ [0, T ]) dans L
2
T , à l’équation différentielle stochastique (4.6.9)
X t = X 0 +
t
0
b(X s )ds +
t
0
σ(X s )dB s .
Définition 4.6.8 Le processus X est appelé processus de diffusion.
Les fonctions σ(x) et b(x) sont appelées respectivement coefficient de diffusion et coefficient
de dérive de X.
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Définition 4.6.6 Sur un espace de probabilité (Ω, F, P), considérons un mouvement brownien (B t , t ≥ 0) et une variable aléatoire réelle X 0 indépendante de B. Soit (F t ) t≥0 la
filtration engendrée par le mouvement brownien B et par X 0 . Considérons également des
fonctions boréliennes b et σ, définies sur R. Nous appelons solution de l’équation différentielle stochastique (EDS)
dX t = b(X t )dt + σ(X t )dB t ; X 0
(4.6.8)
tout processus (X t , t ≥ 0) continu, adapté à la filtration (F t ) t≥0 et vérifiant pour tout
t ≥ 0,
X t = X 0 +
t
0
b(X s )ds +
t
0
σ(X s )dB s .
(4.6.9)
Observons que l’adaptation de X est nécessaire pour que l’intégrale stochastique dans
(4.6.9) ait un sens.
Nous allons chercher des conditions suffisantes pour avoir existence et unicité d’une solution. Dans le cas purement déterministe d’une équation différentielle ordinaire, de la
forme
dX t = b(X t )dt,
X 0 = x 0 ,
(4.6.10)
où la fonction b et la condition initiale x 0 sont données, un résultat classique (le théorème
de Cauchy-Lipschitz) énonce que (4.6.10) admet une et une seule solution dès que b est
lipschitzienne. Pour l’équation différentielle stochastique (4.6.8), nous pouvons prouver un
résultat analogue dans l’ensemble des processus adaptés, presque-sûrement à trajectoires
continues et de carré intégrable uniformément sur [0, T ] :
L
2
T =
X processus adapté continu, E
sup
t≤T
|X t |
2
< ∞
.
Théorème 4.6.7 Supposons que les coefficients b et σ soient lipschitziens et que la condition initiale X 0 soit dans L
2 . Alors pour tout T > 0, il existe une unique (à indistinguabilité près) solution (X t , t ∈ [0, T ]) dans L
2
T , à l’équation différentielle stochastique (4.6.9)
X t = X 0 +
t
0
b(X s )ds +
t
0
σ(X s )dB s .
Définition 4.6.8 Le processus X est appelé processus de diffusion.
Les fonctions σ(x) et b(x) sont appelées respectivement coefficient de diffusion et coefficient
de dérive de X.
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