1 4 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Théorème 4.6.4 Soient H et K des processus bornés, continus et adaptés à la filtration
d’un mouvement brownien B.
1. Pour tous réels α et β,
t
0
(αH s + βK s )dB s = α
t
0
H s dB s + β
t
0
K s dB s .
2. Le processus M défini par M t =
t
0
H s dB s est une martingale continue de carré
intégrable, nulle en 0, et donc d’espérance nulle.
3. Si de plus, N t =
t
0
K s dB s , le processus MN défini par
M t N t −
t
0
H s K s ds
(4.6.5)
est une martingale continue nulle en 0. Il s’en suit que
E(M t N t ) = E
t
0
H s K s ds
.
(4.6.6)
En particulier, l’isométrie fondamentale suivante est satisfaite :
E(M
2
t ) = E
t
0
H s dB s
2
= E
t
0
H
2
s ds
.
(4.6.7)
Ces formules sont fondamentales car elles ramènent le calcul du moment d’ordre 2 d’une
intégrale stochastique à un calcul intégral classique.
Preuve. 1. C’est évident par passage à la limite.
2. Par construction M est adapté et de carré intégrable. Si on prend la partition t i =
s +
(t−s)i
n
de [s, t], on a également
t
s
H u dB u = lim n
i H ti−1 (B ti − B ti−1 ), où la limite est
prise dans L
2 . Remarquons que cette convergence entraîne la convergence des moments
d’ordre 1 et d’ordre 2, ce qui va être utile ci-dessous. De plus,
E
t
s
H u dB u |F s
= lim
n
i
E
H ti−1 (B ti − B ti−1 )|F s
= lim
n
i
E
H ti−1 E(B ti − B ti−1 |F ti−1 )|F s
= 0.
Nous en déduisons que M est une martingale. Remarquons que I(H, n) t peut encore
s’écrire
I(H, n) t =
[nt]
i=1
H (i−1)/n (B t∧i/n − B t∧(i−1)/n )
et est une martingale continue en temps. Nous pouvons appliquer l’inégalité de Doob
(4.5.6) à la martingale M t − I(H, n) t . Nous aurons alors pour ε > 0
P( sup
t∈[0,T ]
|M t − I(H, n) t | > ε) ≤
4
ε 2 E(|M T − I(H, n) T |
2 )
1