4.6. INTÉGRALES STOCHASTIQUES ET EDS
1 3
2 - La convergence des sommes de Riemann énoncée dans le Théorème 4.6.1 est liée à
l’adaptation du processus. Si H (i−1)/n (B i/n − B (i−1)/n ) est remplacé par H t(n,i) (B i/n −
B (i−1)/n ), avec (i − 1)/n < t(n, i) ≤ i/n, comme il est possible de le faire pour les
approximations par les sommes de Riemann pour les intégrales usuelles, la suite associée
I(H, n) t ne converge pas nécessairement et si elle converge, la limite peut être différente
de
t
0
H s dB s .
3 - Insistons sur le fait que l’intégrale stochastique n’est pas une intégrale usuelle, prise
pour chaque valeur de ω, mais est définie comme limite L
2 et n’a donc de sens que presquesûrement. Comme nous l’avons vu précédemment, l’objet dB t n’est qu’une notation et n’est
en aucun cas une mesure définie ω par ω.
Preuve. On montre que, à t fixé, la suite (I(H, n) t ) n est une suite de Cauchy dans L
2 .
Montrons tout d’abord que pour m ∈ N
∗ fixé, la suite E
(I(H, n) t − I(H, mn) t )
2
tend
vers 0 quand n tend vers l’infini. Chaque intervalle (
i−1
n
,
i
n
] d’amplitude
1
n
est composé de
m sous intervalles (
i−1
n
,
i−1
n
+
1
mn
], · · · , (
i−1
n
+
m−1
mn
,
i
n
]. Nous avons alors
I(H, n) t − I(H, mn) t
=
[nt]
i=1
H i−1
n
(B i/n − B (i−1)/n ) −
[nt]
i=1
m
j=1
H i−1
n
+
j−1
mn
(B i−1
n
+
j
mn
− B i−1
n
+
j−1
mn
)
=
[nt]
i=1
m
j=1
(B i−1
n
+
j
mn
− B i−1
n
+
j−1
mn
) (H i−1
n
− H i−1
n
+
j−1
mn
).
Par le même raisonnement que précédemment dans (4.6.4) (en conditionnant), il est facile
de montrer que
E
(I(H, n) t − I(H, mn) t )
2
=
[nt]
i=1
m
j=1
E
B i−1
n
+
j
mn
− B i−1
n
+
j−1
mn
2
H i−1
n
− H i−1
n
+
j−1
mn
2
=
1
mn
[nt]
i=1
m
j=1
E
H i−1
n
− H i−1
n
+
j−1
mn
2
.
Nous pouvons en déduire par l’uniforme continuité de H sur [0, t] et grâce au théorème de
convergence dominée que cette quantité tend vers 0 quand n tend vers l’infini. En faisant
un raisonnement analogue pour E((I(H, m) t − I(H, mn) t )
2 ) quand n tend vers l’infini,
nous pouvons finalement en déduire que la suite (I(H, n) t ) n est une suite de Cauchy dans
L
2 . Cela entraîne la convergence de la suite (I(H, n) t ) n dans L
2 .
Propriétés de l’intégrale stochastique
Les propriétés essentielles de l’intégrale stochastique se déduisent des propriétés de I(H, n) t
par passage à la limite.
1