1 2 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
satisfait
E(Y (n, i)|F (i−1)/n ) = H (i−1)/n E(B i/n − B (i−1)/n |F (i−1)/n ) = 0,
puisque B i/n − B (i−1)/n est indépendant de F (i−1)/n et centré. Supposons que le processus
H considéré soit borné par une constante C. Alors
E(Y (n, i)
2 |F (i−1)/n ) = H
2
(i−1)/n
1
n
≤
C
2
n
.
De plus, si i < j,
E(Y (n, i)Y (n, j)) = E
E(H (i−1)/n (B i/n − B (i−1)/n ) H (j−1)/n (B j/n − B (j−1)/n ) | F j−1
n
)
= E
H (i−1)/n (B i/n − B (i−1)/n ) H (j−1)/n ) E(B j/n − B (j−1)/n
= 0,
(4.6.4)
par l’indépendance des accroissements du mouvement brownien. Ainsi dans ce cas, les
termes croisés s’annulent. Nous avons déjà rencontré un tel phénomène lors de la convergence de la marche aléatoire symétrique renormalisée vers le mouvement brownien, Proposition 4.1.1, qui correspond ici à H = 1.
Nous en déduisons que I(H, n) t =
[nt]
i=1 Y (n, i) est une variable aléatoire centrée et de
variance
[nt]
i=1
E(Y (n, i)
2 ) ≤ C
2 t.
Nous pouvons montrer beaucoup mieux, à savoir le théorème suivant.
Théorème 4.6.1 Soit H un processus borné, continu et adapté à la filtration d’un mouvement brownien B. Alors, la suite
I(H, n) t =
[nt]
i=1
H (i−1)/n (B i/n − B (i−1)/n )
converge dans L
2 , quand n tend vers l’infini, vers une limite, notée
t
0
H s dB s .
Définition 4.6.2 La variable aléatoire de carré intégrable
t
0
H s dB s est appelée l’intégrale stochastique de H par rapport à B sur l’intervalle [0, t].
Remarque 4.6.3 1 - On peut montrer que pour toute partition croissante (t n ) n de [0, t]
de pas tendant vers 0, une approximation analogue à (4.6.3) obtenue en remplaçant
i
n
par
t n converge dans L
2 également vers la même limite. C’est en cela que le Théorème 4.6.1
prend toute sa force.
1
satisfait
E(Y (n, i)|F (i−1)/n ) = H (i−1)/n E(B i/n − B (i−1)/n |F (i−1)/n ) = 0,
puisque B i/n − B (i−1)/n est indépendant de F (i−1)/n et centré. Supposons que le processus
H considéré soit borné par une constante C. Alors
E(Y (n, i)
2 |F (i−1)/n ) = H
2
(i−1)/n
1
n
≤
C
2
n
.
De plus, si i < j,
E(Y (n, i)Y (n, j)) = E
E(H (i−1)/n (B i/n − B (i−1)/n ) H (j−1)/n (B j/n − B (j−1)/n ) | F j−1
n
)
= E
H (i−1)/n (B i/n − B (i−1)/n ) H (j−1)/n ) E(B j/n − B (j−1)/n
= 0,
(4.6.4)
par l’indépendance des accroissements du mouvement brownien. Ainsi dans ce cas, les
termes croisés s’annulent. Nous avons déjà rencontré un tel phénomène lors de la convergence de la marche aléatoire symétrique renormalisée vers le mouvement brownien, Proposition 4.1.1, qui correspond ici à H = 1.
Nous en déduisons que I(H, n) t =
[nt]
i=1 Y (n, i) est une variable aléatoire centrée et de
variance
[nt]
i=1
E(Y (n, i)
2 ) ≤ C
2 t.
Nous pouvons montrer beaucoup mieux, à savoir le théorème suivant.
Théorème 4.6.1 Soit H un processus borné, continu et adapté à la filtration d’un mouvement brownien B. Alors, la suite
I(H, n) t =
[nt]
i=1
H (i−1)/n (B i/n − B (i−1)/n )
converge dans L
2 , quand n tend vers l’infini, vers une limite, notée
t
0
H s dB s .
Définition 4.6.2 La variable aléatoire de carré intégrable
t
0
H s dB s est appelée l’intégrale stochastique de H par rapport à B sur l’intervalle [0, t].
Remarque 4.6.3 1 - On peut montrer que pour toute partition croissante (t n ) n de [0, t]
de pas tendant vers 0, une approximation analogue à (4.6.3) obtenue en remplaçant
i
n
par
t n converge dans L
2 également vers la même limite. C’est en cela que le Théorème 4.6.1
prend toute sa force.
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