4.6. INTÉGRALES STOCHASTIQUES ET EDS
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de la particule sera une fonction aléatoire t → X t , solution d’une équation qui pourrait
avoir la forme
dX t = b(X t )dt + σ(X t )dB t .
(4.6.1)
Une équation de ce type est appelée une équation différentielle stochastique. On pourrait
croire que c’est une généralisation d’une équation différentielle ordinaire mais en fait, elle
ne peut pas avoir le même sens, puisque nous avons vu que les trajectoires browniennes
ne sont nulle part dérivables (cf. Proposition 4.3.6).
Si nous supposons que la condition initiale est une variable aléatoire X 0 , une solution de
(4.6.1) est par définition la solution de l’équation intégrale
X t = X 0 +
t
0
b(X s )ds +
t
0
σ(X s )dB s .
(4.6.2)
Un problème majeur est donc de donner un sens à l’intégrale
t
0
σ(X s )dB s , qui va être
une intégrale de nature différente d’une intégrale usuelle. Cette intégrale, appelée intégrale
stochastique, a été construite par Itô en 1944.
4.6.1 Intégrales stochastiques
Nous souhaitons donner un sens à l’intégrale
t
0
H s dB s pour B un mouvement brownien et H = (H t ) t≥0 un processus presque-sûrement à trajectoires continues et borné,
(même si ces hypothèses pourraient être un peu allégées). Une telle intégrale portera le
nom d’intégrale stochastique.
L’idée naturelle serait d’obtenir
t
0
H s dB s comme limite des sommes discrètes
I(H, n) t =
[nt]
훀
i=1
H (i−1)/n (B i/n − B (i−1)/n ).
(4.6.3)
La variable B i/n − B (i−1)/n est d’ordre 1/
√
n, car elle est centrée et de variance 1/n,
et donc H (i−1)/n (B i/n − B (i−1)/n ) est également d’ordre 1/
√
n . La variable I(H, n) t
est donc d’ordre
√
n . Ce raisonnement heuristique nous indique que la suite de variables
aléatoires (I(H, n) t ) n ne pourra en général pas converger. (Cela est cohérent avec le fait
que les trajectoires de B sont à variation infinie).
Pourtant, une sorte de “miracle” a lieu, si l’on suppose de plus que le processus H est
adapté à la filtration du mouvement brownien (F t ) et que l’on calcule la norme L
2 de
I(H, n) t .
Comme H est adapté à la filtration (F t ), H (i−1)/n est F (i−1)/n -mesurable et la variable
aléatoire
Y (n, i) = H (i−1)/n (B i/n − B (i−1)/n )
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de la particule sera une fonction aléatoire t → X t , solution d’une équation qui pourrait
avoir la forme
dX t = b(X t )dt + σ(X t )dB t .
(4.6.1)
Une équation de ce type est appelée une équation différentielle stochastique. On pourrait
croire que c’est une généralisation d’une équation différentielle ordinaire mais en fait, elle
ne peut pas avoir le même sens, puisque nous avons vu que les trajectoires browniennes
ne sont nulle part dérivables (cf. Proposition 4.3.6).
Si nous supposons que la condition initiale est une variable aléatoire X 0 , une solution de
(4.6.1) est par définition la solution de l’équation intégrale
X t = X 0 +
t
0
b(X s )ds +
t
0
σ(X s )dB s .
(4.6.2)
Un problème majeur est donc de donner un sens à l’intégrale
t
0
σ(X s )dB s , qui va être
une intégrale de nature différente d’une intégrale usuelle. Cette intégrale, appelée intégrale
stochastique, a été construite par Itô en 1944.
4.6.1 Intégrales stochastiques
Nous souhaitons donner un sens à l’intégrale
t
0
H s dB s pour B un mouvement brownien et H = (H t ) t≥0 un processus presque-sûrement à trajectoires continues et borné,
(même si ces hypothèses pourraient être un peu allégées). Une telle intégrale portera le
nom d’intégrale stochastique.
L’idée naturelle serait d’obtenir
t
0
H s dB s comme limite des sommes discrètes
I(H, n) t =
[nt]
훀
i=1
H (i−1)/n (B i/n − B (i−1)/n ).
(4.6.3)
La variable B i/n − B (i−1)/n est d’ordre 1/
√
n, car elle est centrée et de variance 1/n,
et donc H (i−1)/n (B i/n − B (i−1)/n ) est également d’ordre 1/
√
n . La variable I(H, n) t
est donc d’ordre
√
n . Ce raisonnement heuristique nous indique que la suite de variables
aléatoires (I(H, n) t ) n ne pourra en général pas converger. (Cela est cohérent avec le fait
que les trajectoires de B sont à variation infinie).
Pourtant, une sorte de “miracle” a lieu, si l’on suppose de plus que le processus H est
adapté à la filtration du mouvement brownien (F t ) et que l’on calcule la norme L
2 de
I(H, n) t .
Comme H est adapté à la filtration (F t ), H (i−1)/n est F (i−1)/n -mesurable et la variable
aléatoire
Y (n, i) = H (i−1)/n (B i/n − B (i−1)/n )
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