1 0 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
où 0 < x < a.
Nous avons donc montré les résultats suivants.
Proposition 4.5.25 (i) L’espérance du temps de sortie de ]0, a[ par un mouvement brownien issu de x est donnée par
E x (T 0 ∧ T a ) = x(a − x).
(ii) L’espérance du premier temps d’atteinte de 0 par un mouvement brownien issu de x
et réfléchi en a est donnée par
E x (T 0 ∧ T 2a ) = x(2a − x).
4.6 Intégrales stochastiques et équations différentielles
stochastiques
Nous avons vu à la Remarque 4.1.2 -2) que certaines normalisations de marches aléatoires
peuvent conduire à des processus de type t → b t + σB t , somme d’une fonction déterministe et d’un processus aléatoire. Si b = 0, le premier terme décrit la tendance centrale et
le deuxième terme en est une perturbation aléatoire. Ce processus peut modéliser la dynamique d’une particule dont la vitesse est b en moyenne, avec des fluctuations aléatoires
de variance σ
2 t. Dans cette partie, nous allons généraliser ce type de processus.
Supposons par exemple que la vitesse de déplacement d’une particule de plancton dépende
de l’hétérogénéité de la colonne d’eau dans laquelle elle évolue. Par exemple, la température de l’eau ou la pollution peuvent avoir une influence sur la vitesse (le plancton peut
se déplacer plus vite en eaux chaudes et ralentir si la température baisse). Cette hétérogénéité va se traduire par le fait que les coefficients b et σ vont dépendre de la position
spatiale où se trouve le plancton. Nous allons développer cette idée.
Usuellement, quand les fluctuations aléatoires sont inexistantes ou extrêmement petites,
la description du mouvement d’une particule est décrite par la solution d’une équation
différentielle ordinaire, de type
dx t = b(x t )dt,
où la fonction b(x) modélise la dépendance spatiale de la vitesse. Supposons que le mouvement soit perturbé par une composante aléatoire. Comme nous l’avons vu ci-dessus, nous
pouvons modéliser l’alea des fluctuations d’une particule pendant un temps infinitésimal
dt par une variable aléatoire de loi normale centrée de variance σdt et que l’on peut penser
comme "σdB t " (puisque B t a pour variance t). Si nous supposons de plus que l’écart-type
des fluctuations dépend de la position de la particule au temps t, le mouvement aléatoire
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où 0 < x < a.
Nous avons donc montré les résultats suivants.
Proposition 4.5.25 (i) L’espérance du temps de sortie de ]0, a[ par un mouvement brownien issu de x est donnée par
E x (T 0 ∧ T a ) = x(a − x).
(ii) L’espérance du premier temps d’atteinte de 0 par un mouvement brownien issu de x
et réfléchi en a est donnée par
E x (T 0 ∧ T 2a ) = x(2a − x).
4.6 Intégrales stochastiques et équations différentielles
stochastiques
Nous avons vu à la Remarque 4.1.2 -2) que certaines normalisations de marches aléatoires
peuvent conduire à des processus de type t → b t + σB t , somme d’une fonction déterministe et d’un processus aléatoire. Si b = 0, le premier terme décrit la tendance centrale et
le deuxième terme en est une perturbation aléatoire. Ce processus peut modéliser la dynamique d’une particule dont la vitesse est b en moyenne, avec des fluctuations aléatoires
de variance σ
2 t. Dans cette partie, nous allons généraliser ce type de processus.
Supposons par exemple que la vitesse de déplacement d’une particule de plancton dépende
de l’hétérogénéité de la colonne d’eau dans laquelle elle évolue. Par exemple, la température de l’eau ou la pollution peuvent avoir une influence sur la vitesse (le plancton peut
se déplacer plus vite en eaux chaudes et ralentir si la température baisse). Cette hétérogénéité va se traduire par le fait que les coefficients b et σ vont dépendre de la position
spatiale où se trouve le plancton. Nous allons développer cette idée.
Usuellement, quand les fluctuations aléatoires sont inexistantes ou extrêmement petites,
la description du mouvement d’une particule est décrite par la solution d’une équation
différentielle ordinaire, de type
dx t = b(x t )dt,
où la fonction b(x) modélise la dépendance spatiale de la vitesse. Supposons que le mouvement soit perturbé par une composante aléatoire. Comme nous l’avons vu ci-dessus, nous
pouvons modéliser l’alea des fluctuations d’une particule pendant un temps infinitésimal
dt par une variable aléatoire de loi normale centrée de variance σdt et que l’on peut penser
comme "σdB t " (puisque B t a pour variance t). Si nous supposons de plus que l’écart-type
des fluctuations dépend de la position de la particule au temps t, le mouvement aléatoire
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