4.5. MARTINGALES À TEMPS CONTINU ET TEMPS D’ARRÊT
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D - Applications aux temps d’atteinte de barrières.
Comme dans le cas des marches aléatoires nous allons nous intéresser à des barrières
absorbantes ou réfléchissantes.
Barrière absorbante en 0
Imaginons une particule de plancton issue de x > 0 (la position 0 est le fond de la mer) et
qui diffuse verticalement suivant un mouvement brownien. Nous supposons que la surface
est à la hauteur a du fond, et dans un premier temps nous supposerons que a = +∞,
c’est-à-dire que la profondeur est suffisamment grande par rapport à la taille de la cellule
pour que son déplacement soit considéré comme possible sur tout R + . Le fond de la
mer est recouvert de prédateurs, et la particule est absorbée dès qu’elle touche le fond
(comme dans le cas discret étudié précédemment). Avant d’être absorbée, la particule a
pour position au temps t un mouvement brownien issu de x, défini par X t = x + B t .
Cherchons le temps moyen de capture d’une particule issue d’une profondeur x > 0. Ce
temps est donné par m(x) = E(T 0 | X 0 = x), où T 0 = inf{t : X t = 0}.
En adaptant la preuve de (4.5.17), nous obtenons immédiatement que m(x) = +∞.
Supposons maintenant que la surface de la mer soit à la hauteur a > 0 et que la particule
soit aussi absorbée à la surface, si elle y parvient (nappe de pétrole, pollution, baleine).
Cette cellule va alors se déplacer suivant un mouvement brownien issu de x ∈ [0, a],
absorbé en 0 et en a. Ainsi, dans ce cas,
m(x) = E(T 0 ∧ T a | X 0 = x) = E x (T 0 ∧ T a ).
Nous pouvons alors appliquer le raisonnement du paragraphe précédent en remplaçant b
par −x et a par a − x. Nous obtenons que
P x (T a < T 0 ) =
x
a
; P x (T 0 < T a ) = 1 −
x
a
,
puis que m(x) = x(a − x).
Barrière réfléchissante en a
Supposons maintenant que la surface de la mer soit à la hauteur a et que la cellule de
plancton se réfléchisse naturellement à la surface. Elle va alors se déplacer suivant un mouvement brownien issu de x, absorbé en 0 et réfléchi en a. Si le mouvement brownien atteint
a avant 0, il va se comporter après réflexion comme un nouveau mouvement brownien issu
de a et indépendant du précédent. Pour ce deuxième mouvement brownien, la probabilité
d’atteindre 0 en partant de a va alors être la même que la probabilité d’atteindre 2a en
partant de a pour le premier (propriété de Markov forte). Nous allons adapter les calculs
du cas précédent en remplaçant a par 2a. Ainsi, dans ce cas,
m(x) = E(T 0 ∧ T 2a |X 0 = x) = x(2a − x)
0
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D - Applications aux temps d’atteinte de barrières.
Comme dans le cas des marches aléatoires nous allons nous intéresser à des barrières
absorbantes ou réfléchissantes.
Barrière absorbante en 0
Imaginons une particule de plancton issue de x > 0 (la position 0 est le fond de la mer) et
qui diffuse verticalement suivant un mouvement brownien. Nous supposons que la surface
est à la hauteur a du fond, et dans un premier temps nous supposerons que a = +∞,
c’est-à-dire que la profondeur est suffisamment grande par rapport à la taille de la cellule
pour que son déplacement soit considéré comme possible sur tout R + . Le fond de la
mer est recouvert de prédateurs, et la particule est absorbée dès qu’elle touche le fond
(comme dans le cas discret étudié précédemment). Avant d’être absorbée, la particule a
pour position au temps t un mouvement brownien issu de x, défini par X t = x + B t .
Cherchons le temps moyen de capture d’une particule issue d’une profondeur x > 0. Ce
temps est donné par m(x) = E(T 0 | X 0 = x), où T 0 = inf{t : X t = 0}.
En adaptant la preuve de (4.5.17), nous obtenons immédiatement que m(x) = +∞.
Supposons maintenant que la surface de la mer soit à la hauteur a > 0 et que la particule
soit aussi absorbée à la surface, si elle y parvient (nappe de pétrole, pollution, baleine).
Cette cellule va alors se déplacer suivant un mouvement brownien issu de x ∈ [0, a],
absorbé en 0 et en a. Ainsi, dans ce cas,
m(x) = E(T 0 ∧ T a | X 0 = x) = E x (T 0 ∧ T a ).
Nous pouvons alors appliquer le raisonnement du paragraphe précédent en remplaçant b
par −x et a par a − x. Nous obtenons que
P x (T a < T 0 ) =
x
a
; P x (T 0 < T a ) = 1 −
x
a
,
puis que m(x) = x(a − x).
Barrière réfléchissante en a
Supposons maintenant que la surface de la mer soit à la hauteur a et que la cellule de
plancton se réfléchisse naturellement à la surface. Elle va alors se déplacer suivant un mouvement brownien issu de x, absorbé en 0 et réfléchi en a. Si le mouvement brownien atteint
a avant 0, il va se comporter après réflexion comme un nouveau mouvement brownien issu
de a et indépendant du précédent. Pour ce deuxième mouvement brownien, la probabilité
d’atteindre 0 en partant de a va alors être la même que la probabilité d’atteindre 2a en
partant de a pour le premier (propriété de Markov forte). Nous allons adapter les calculs
du cas précédent en remplaçant a par 2a. Ainsi, dans ce cas,
m(x) = E(T 0 ∧ T 2a |X 0 = x) = x(2a − x)
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