1 8 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Nous en déduisons (4.5.19).
C - Temps d’atteinte des bornes d’un intervalle.
Considérons maintenant a > 0 et b > 0 et soit T = T a ∧ T −b . D’après (4.5.16), nous avons
P(T < +∞) = 1. Etudions plus précisément ce temps de sortie de l’intervalle ] − b, a[.
Proposition 4.5.24 Pour un mouvement brownien issu de 0, les probabilités de sortie
de l’intervalle ] − b, a[ par l’une ou l’autre borne sont données par
P(T a < T −b ) =
b
a + b
;
P(T −b < T a ) =
a
a + b
.
(4.5.20)
De plus,
E(T a ∧ T −b ) = ab.
(4.5.21)
Plus b est grand, plus le mouvement brownien a de chances de sortir par a de l’intervalle
] − b, a[.
Preuve. Puisque P(T < +∞) = 1, nous savons que
P(T a < T −b ) + P(T −b < T a ) = 1.
Par ailleurs, la martingale arrêtée M t = B T ∧t est bornée par sup(a, b), et nous pouvons
appliquer (4.5.12) au temps T . Cela entraîne que
0 = E(M 0 ) = E(M T ) = a P(T = T a ) − b P(T = T −b ).
(4.5.22)
Mais {T = T a } = {T a < T −b } et {T = T −b } = {T −b < T a } de sorte que finalement, nous
pouvons calculer les probabilités de sortir par l’une ou l’autre borne de l’intervalle ] − b, a[
et obtenir (4.5.20). Pour montrer (4.5.21), nous allons utiliser un argument similaire en
utilisant la martingale M t = B
2
t − t. En effet, E(M T ∧t ) = 0 pour tout t ≥ 0. Par ailleurs
nous avons
E(M T ∧t ) = a
2 P(B T = a, T ≤ t) + b
2 P(B T = −b, T ≤ t) + E(B
2
t T >t ) − E(T ∧ t).
Par convergence dominée et convergence monotone quand t tend vers l’infini, nous en
déduisons que
E(M T ) = 0 = a
2 P(B T = a) + b
2 P(B T = −b) − E(T ),
d’où le résultat.
0