4.5. MARTINGALES À TEMPS CONTINU ET TEMPS D’ARRÊT
1 7
La loi de T a s’appelle une loi stable d’indice 1/2.
Nous allons donner une deuxième méthode, plus probabiliste, permettant de trouver la
loi de T a . Celle-ci repose sur une propriété du mouvement brownien, appelée principe de
réflexion.
2) Le principe de réflexion.
Introduisons le processus (S t , t ≥ 0) continu croissant et défini par S t = sup s≤t B s . Ce
processus et les temps d’arrêt T a sont inverses l’un de l’autre au sens où {T a ≤ t} =
{S t ≥ a} et donc
T a = inf{t; S t ≥ a} et S t = inf{a, T a ≥ t}.
Le Théorème 4.5.20 permet de montrer le principe de réflexion suivant.
Proposition 4.5.22 Pour a > 0, pour tout t > 0,
P(S t ≥ a) = P(T a ≤ t) = 2P(B t ≥ a) = P(|B t | ≥ a) = 2
1 − Φ
a
√
t
, (4.5.19)
où Φ désigne la fonction de répartition de la loi N (0, 1), définie par Φ(t) = P (U ≤ t) si
U est une variable normale centrée réduite.
Remarque 4.5.23 1) Ce résultat nous donne la fonction de répartition de T a et par un
argument classique de dérivation de cette fonction, nous pouvons retrouver (ou en déduire)
que la loi de T a a la densité donnée par (4.5.18).
2) La propriété (4.5.19) entraîne en particulier que pour tout t, les variables aléatoires S t
et |B t | ont même loi puisqu’elles ont même fonction de répartition. Toutefois, les processus
(S t , t ≥ 0) et (|B t |, t ≥ 0) n’ont pas même loi, puisque le premier est croissant et que le
deuxième revient presque-sûrement vers 0 comme nous l’avons vu ci-dessus.
Preuve. Le nom de ce résultat vient de l’argument heuristique suivant. Parmi les trajectoires qui atteignent a avant le temps t, “une moitié” sera supérieure à a au temps t. En
effet,
P(T a ≤ t) = P(T a ≤ t, B t ≥ a) + P(T a ≤ t, B t < a).
Mais P(T a ≤ t, B t ≥ a) = P(B t ≥ a) car le mouvement brownien étant à trajectoires
continues et issu de 0, il doit nécessairement passer par a pour devenir supérieur à a. Par
ailleurs, par la propriété de Markov forte (Théorème 4.5.20) et par symétrie du mouvement
brownien, nous avons
P(T a ≤ t, B t < a) = E( Ta≤t E(B t < a|F Ta ))
= E( Ta≤t E(B t−Ta+Ta < B Ta |F Ta ))
=
t
0
E(B t−s < 0) P(T a ∈ ds) =
1
2
P(T a ≤ t).
0
1 7
La loi de T a s’appelle une loi stable d’indice 1/2.
Nous allons donner une deuxième méthode, plus probabiliste, permettant de trouver la
loi de T a . Celle-ci repose sur une propriété du mouvement brownien, appelée principe de
réflexion.
2) Le principe de réflexion.
Introduisons le processus (S t , t ≥ 0) continu croissant et défini par S t = sup s≤t B s . Ce
processus et les temps d’arrêt T a sont inverses l’un de l’autre au sens où {T a ≤ t} =
{S t ≥ a} et donc
T a = inf{t; S t ≥ a} et S t = inf{a, T a ≥ t}.
Le Théorème 4.5.20 permet de montrer le principe de réflexion suivant.
Proposition 4.5.22 Pour a > 0, pour tout t > 0,
P(S t ≥ a) = P(T a ≤ t) = 2P(B t ≥ a) = P(|B t | ≥ a) = 2
1 − Φ
a
√
t
, (4.5.19)
où Φ désigne la fonction de répartition de la loi N (0, 1), définie par Φ(t) = P (U ≤ t) si
U est une variable normale centrée réduite.
Remarque 4.5.23 1) Ce résultat nous donne la fonction de répartition de T a et par un
argument classique de dérivation de cette fonction, nous pouvons retrouver (ou en déduire)
que la loi de T a a la densité donnée par (4.5.18).
2) La propriété (4.5.19) entraîne en particulier que pour tout t, les variables aléatoires S t
et |B t | ont même loi puisqu’elles ont même fonction de répartition. Toutefois, les processus
(S t , t ≥ 0) et (|B t |, t ≥ 0) n’ont pas même loi, puisque le premier est croissant et que le
deuxième revient presque-sûrement vers 0 comme nous l’avons vu ci-dessus.
Preuve. Le nom de ce résultat vient de l’argument heuristique suivant. Parmi les trajectoires qui atteignent a avant le temps t, “une moitié” sera supérieure à a au temps t. En
effet,
P(T a ≤ t) = P(T a ≤ t, B t ≥ a) + P(T a ≤ t, B t < a).
Mais P(T a ≤ t, B t ≥ a) = P(B t ≥ a) car le mouvement brownien étant à trajectoires
continues et issu de 0, il doit nécessairement passer par a pour devenir supérieur à a. Par
ailleurs, par la propriété de Markov forte (Théorème 4.5.20) et par symétrie du mouvement
brownien, nous avons
P(T a ≤ t, B t < a) = E( Ta≤t E(B t < a|F Ta ))
= E( Ta≤t E(B t−Ta+Ta < B Ta |F Ta ))
=
t
0
E(B t−s < 0) P(T a ∈ ds) =
1
2
P(T a ≤ t).
0