1 6 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
B - Loi du temps d’atteinte d’un point.
1) Utilisation du théorème d’arrêt des martingales.
Soit B un mouvement brownien, et introduisons pour a > 0 le temps d’arrêt
T a = inf{t > 0, B t = a}.
Remarquons que grâce à la Proposition 4.3.2 (loi du logarithme itéré), l’ensemble {t >
0, B t = a} est presque-sûrement non borné.
Considérons la martingale M
λ
t = exp(λB t −
λ 2
2
t) pour un λ > 0 arbitraire et N =
(M
λ )
Ta , qui est la martingale, arrêtée au temps T a . Ainsi nous avons N t = M
λ
Ta∧t , d’où
nous déduisons 0 < N t ≤ e
aλ , ce qui entraîne que N est bornée.
Nous pouvons donc appliquer le Théorème 4.5.15 et (4.5.12) à la martingale N et au
temps d’arrêt T a , ce qui donne E(N Ta ) = E(N 0 ) = 1. Puisque N Ta = exp(λa −
λ 2
2
T a ) et
en posant θ = λ
2 /2, nous en déduisons que
E(e
−θTa ) = e
−a
√
2θ .
(4.5.15)
En faisant tendre θ vers 0 et par théorème de convergence dominée, il est facile d’obtenir
P(T a < +∞) = 1.
(4.5.16)
De même en dérivant par rapport à θ (ce que l’on peut justifier par théorème de convergence monotone), puis en faisant tendre θ vers 0, nous obtenons E(T a Ta<+∞ ) = +∞ et
donc a fortiori
E(T a ) = +∞.
(4.5.17)
Si B est un mouvement brownien, −B l’est aussi et les propriétés (4.5.16) et (4.5.17)
sont également vraies si a < 0.
Ainsi, le mouvement brownien atteint chaque point avec probabilité 1, mais il mettra
un temps infini à les atteindre. Intuitivement, cette propriété se comprend du fait de
l’irrégularité fractale des trajectoires.
Grâce au Théorème 4.5.20, il est très facile de déduire de (4.5.16) la propriété de récurrence
du mouvement brownien, en conditionnant par les temps de passage successifs au point
a. La preuve de la proposition suivante est laissée à titre d’exercice au lecteur.
Proposition 4.5.21 Avec probabilité 1, pour tout t ≥ 0, le processus B visite infiniment
souvent chaque nombre réel a après le temps t.
L’expression (4.5.15) donne la transformée de Laplace de la variable T a en θ, qui peut
être inversée (Voir [25] p.187). Cela montre que T a admet une densité sur R + donnée par
f a (u) =
a
√
2πu 3
e
−a 2 /2u , u ≥ 0.
(4.5.18)
0
B - Loi du temps d’atteinte d’un point.
1) Utilisation du théorème d’arrêt des martingales.
Soit B un mouvement brownien, et introduisons pour a > 0 le temps d’arrêt
T a = inf{t > 0, B t = a}.
Remarquons que grâce à la Proposition 4.3.2 (loi du logarithme itéré), l’ensemble {t >
0, B t = a} est presque-sûrement non borné.
Considérons la martingale M
λ
t = exp(λB t −
λ 2
2
t) pour un λ > 0 arbitraire et N =
(M
λ )
Ta , qui est la martingale, arrêtée au temps T a . Ainsi nous avons N t = M
λ
Ta∧t , d’où
nous déduisons 0 < N t ≤ e
aλ , ce qui entraîne que N est bornée.
Nous pouvons donc appliquer le Théorème 4.5.15 et (4.5.12) à la martingale N et au
temps d’arrêt T a , ce qui donne E(N Ta ) = E(N 0 ) = 1. Puisque N Ta = exp(λa −
λ 2
2
T a ) et
en posant θ = λ
2 /2, nous en déduisons que
E(e
−θTa ) = e
−a
√
2θ .
(4.5.15)
En faisant tendre θ vers 0 et par théorème de convergence dominée, il est facile d’obtenir
P(T a < +∞) = 1.
(4.5.16)
De même en dérivant par rapport à θ (ce que l’on peut justifier par théorème de convergence monotone), puis en faisant tendre θ vers 0, nous obtenons E(T a Ta<+∞ ) = +∞ et
donc a fortiori
E(T a ) = +∞.
(4.5.17)
Si B est un mouvement brownien, −B l’est aussi et les propriétés (4.5.16) et (4.5.17)
sont également vraies si a < 0.
Ainsi, le mouvement brownien atteint chaque point avec probabilité 1, mais il mettra
un temps infini à les atteindre. Intuitivement, cette propriété se comprend du fait de
l’irrégularité fractale des trajectoires.
Grâce au Théorème 4.5.20, il est très facile de déduire de (4.5.16) la propriété de récurrence
du mouvement brownien, en conditionnant par les temps de passage successifs au point
a. La preuve de la proposition suivante est laissée à titre d’exercice au lecteur.
Proposition 4.5.21 Avec probabilité 1, pour tout t ≥ 0, le processus B visite infiniment
souvent chaque nombre réel a après le temps t.
L’expression (4.5.15) donne la transformée de Laplace de la variable T a en θ, qui peut
être inversée (Voir [25] p.187). Cela montre que T a admet une densité sur R + donnée par
f a (u) =
a
√
2πu 3
e
−a 2 /2u , u ≥ 0.
(4.5.18)
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