4.5. MARTINGALES À TEMPS CONTINU ET TEMPS D’ARRÊT
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4.5.4 Applications au mouvement brownien
Nous allons montrer dans ce paragraphe comment la propriété de martingale et l’utilisation de temps d’arrêt permettent de faire des calculs et en particulier d’obtenir les lois de
certaines fonctionnelles du mouvement brownien.
Nous allons tout d’abord généraliser la propriété de Markov du mouvement brownien aux
temps d’arrêt. Pour cela nous devons décrire l’information accumulée jusqu’à un temps
d’arrêt T . Supposons qu’un événement aléatoire A fasse partie de cette information. Son
occurrence ou sa non-occurence seront décidées au temps T . En particulier, A ∩ {T ≤ t}
doit appartenir à F t . Nous en déduisons la définition suivante.
Définition 4.5.19 Soit T un temps d’arrêt pour la filtration (F t ) t . La tribu F T des
événements antérieurs à T est l’ensemble des événements aléatoires A tels que pour tout
t ≥ 0, A ∩ {T ≤ t} ∈ F t .
A - Propriété de Markov forte
Remarquons tout d’abord que le mouvement brownien vérifie la propriété de Markov forte,
à savoir que la propriété de Markov se généralise aux temps d’arrêt, sur l’ensemble où ils
sont finis.
Théorème 4.5.20 Si T est un temps d’arrêt, alors sur l’ensemble {T < +∞}, le processus défini par B
(T )
s
= B T +s − B T est encore un mouvement brownien, indépendant de
la trajectoire jusqu’au temps T . Le mouvement brownien est fortement markovien : pour
tout borélien A,
E x (B T +t ∈ A | F T ) = E x (B T +t ∈ A | X T ) p.s. sur {T < +∞}.
(4.5.14)
Preuve. Montrons le théorème pour un temps d’arrêt borné. En vertu de la caractérisation
de Paul Lévy de la Proposition 4.5.4, nous allons montrer que les deux processus (B
(T )
s , s ≥
0) et ((B
(T )
s )
2
− s, s ≥ 0) sont des martingales. Nous utilisons la caractérisation 2) du
Théorème 4.5.15. Considérons un autre temps d’arrêt borné S. Il suffit de montrer que
E(B T +S − B T ) = 0 ; E((B T +S − B T )
2 − S) = 0.
Ces égalités sont immédiates grâce à la partie 1) du Théorème 4.5.15. Nous en déduisons
immédiatement (4.5.14).
0
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4.5.4 Applications au mouvement brownien
Nous allons montrer dans ce paragraphe comment la propriété de martingale et l’utilisation de temps d’arrêt permettent de faire des calculs et en particulier d’obtenir les lois de
certaines fonctionnelles du mouvement brownien.
Nous allons tout d’abord généraliser la propriété de Markov du mouvement brownien aux
temps d’arrêt. Pour cela nous devons décrire l’information accumulée jusqu’à un temps
d’arrêt T . Supposons qu’un événement aléatoire A fasse partie de cette information. Son
occurrence ou sa non-occurence seront décidées au temps T . En particulier, A ∩ {T ≤ t}
doit appartenir à F t . Nous en déduisons la définition suivante.
Définition 4.5.19 Soit T un temps d’arrêt pour la filtration (F t ) t . La tribu F T des
événements antérieurs à T est l’ensemble des événements aléatoires A tels que pour tout
t ≥ 0, A ∩ {T ≤ t} ∈ F t .
A - Propriété de Markov forte
Remarquons tout d’abord que le mouvement brownien vérifie la propriété de Markov forte,
à savoir que la propriété de Markov se généralise aux temps d’arrêt, sur l’ensemble où ils
sont finis.
Théorème 4.5.20 Si T est un temps d’arrêt, alors sur l’ensemble {T < +∞}, le processus défini par B
(T )
s
= B T +s − B T est encore un mouvement brownien, indépendant de
la trajectoire jusqu’au temps T . Le mouvement brownien est fortement markovien : pour
tout borélien A,
E x (B T +t ∈ A | F T ) = E x (B T +t ∈ A | X T ) p.s. sur {T < +∞}.
(4.5.14)
Preuve. Montrons le théorème pour un temps d’arrêt borné. En vertu de la caractérisation
de Paul Lévy de la Proposition 4.5.4, nous allons montrer que les deux processus (B
(T )
s , s ≥
0) et ((B
(T )
s )
2
− s, s ≥ 0) sont des martingales. Nous utilisons la caractérisation 2) du
Théorème 4.5.15. Considérons un autre temps d’arrêt borné S. Il suffit de montrer que
E(B T +S − B T ) = 0 ; E((B T +S − B T )
2 − S) = 0.
Ces égalités sont immédiates grâce à la partie 1) du Théorème 4.5.15. Nous en déduisons
immédiatement (4.5.14).
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