1 4 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
nous limiter à considérer la martingale M sur [0, K] où elle est uniformément intégrable.
Ainsi, la suite (M Tn ) n est uniformément intégrable et converge presque-sûrement vers M T ,
elle converge alors en moyenne vers M T et la conclusion suit.
2) Il suffit de montrer que si les espérances de X T et X 0 sont égales pour tout temps
d’arrêt borné, alors X est une martingale. Soient s < t et A ∈ F s . Définissons le temps
aléatoire T par
T = t A c + s A .
Il est facile de vérifier que T est un temps d’arrêt borné. Ainsi,
E(X T ) = E(X t A c ) + E(X s A ) = E(X 0 ).
Par ailleurs, comme t est (de manière évidente) un temps d’arrêt borné, nous avons
également
E(X t ) = E(X t A c ) + E(X t A ) = E(X 0 ).
Nous en déduisons que E(X s A ) = E(X t A ) et E(X t |F s ) = X s . Ainsi le processus X
est une martingale.
Nous pouvons en déduire facilement la proposition suivante, extrêmement utile dans la
pratique, comme nous le verrons au paragraphe suivant.
Proposition 4.5.16 Considérons une martingale M et un temps d’arrêt T . Alors le
processus M
T défini par M
T
t = M t∧T est une martingale, appelée martingale arrêtée au
temps T .
Preuve. Pour tout t, M T ∧t est F t -mesurable et dans L
1 . Soit S un temps d’arrêt borné.
Alors T ∧ S est un temps d’arrêt borné et E(M T ∧S ) = E(M 0 ). Nous en déduisons que
E(M
T
S ) = E(M
T
0 ), ce qui assure par le Théorème 4.5.15 que M
T est une martingale.
Remarque 4.5.17 Observons que (4.5.12) peut être fausse si T n’est pas borné. Par
exemple pour le mouvement brownien B et si T = inf{t ≥ 0, B t = 1}, nous avons
E(B 0 ) = 0 < E(B T ) = 1. Dans ce cas, le temps aléatoire T est presque sûrement fini,
mais n’est pas borné et a même une espérance infinie (voir (4.5.16)).
En revanche, dans le cas d’une martingale bornée (vérifiant (4.5.11)), on a le
Théorème 4.5.18 Si M est une martingale bornée, alors (4.5.12) a lieu pour tout temps
d’arrêt T .
Preuve. La preuve est immédiate grâce à la Proposition 4.5.16. En effet, puisque pour
tout t, nous avons E(M T ∧t ) = E(M 0 ), il suffit de faire tendre t vers l’infini et d’utiliser le
théorème de convergence dominée, grâce à la bornitude de M .
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nous limiter à considérer la martingale M sur [0, K] où elle est uniformément intégrable.
Ainsi, la suite (M Tn ) n est uniformément intégrable et converge presque-sûrement vers M T ,
elle converge alors en moyenne vers M T et la conclusion suit.
2) Il suffit de montrer que si les espérances de X T et X 0 sont égales pour tout temps
d’arrêt borné, alors X est une martingale. Soient s < t et A ∈ F s . Définissons le temps
aléatoire T par
T = t A c + s A .
Il est facile de vérifier que T est un temps d’arrêt borné. Ainsi,
E(X T ) = E(X t A c ) + E(X s A ) = E(X 0 ).
Par ailleurs, comme t est (de manière évidente) un temps d’arrêt borné, nous avons
également
E(X t ) = E(X t A c ) + E(X t A ) = E(X 0 ).
Nous en déduisons que E(X s A ) = E(X t A ) et E(X t |F s ) = X s . Ainsi le processus X
est une martingale.
Nous pouvons en déduire facilement la proposition suivante, extrêmement utile dans la
pratique, comme nous le verrons au paragraphe suivant.
Proposition 4.5.16 Considérons une martingale M et un temps d’arrêt T . Alors le
processus M
T défini par M
T
t = M t∧T est une martingale, appelée martingale arrêtée au
temps T .
Preuve. Pour tout t, M T ∧t est F t -mesurable et dans L
1 . Soit S un temps d’arrêt borné.
Alors T ∧ S est un temps d’arrêt borné et E(M T ∧S ) = E(M 0 ). Nous en déduisons que
E(M
T
S ) = E(M
T
0 ), ce qui assure par le Théorème 4.5.15 que M
T est une martingale.
Remarque 4.5.17 Observons que (4.5.12) peut être fausse si T n’est pas borné. Par
exemple pour le mouvement brownien B et si T = inf{t ≥ 0, B t = 1}, nous avons
E(B 0 ) = 0 < E(B T ) = 1. Dans ce cas, le temps aléatoire T est presque sûrement fini,
mais n’est pas borné et a même une espérance infinie (voir (4.5.16)).
En revanche, dans le cas d’une martingale bornée (vérifiant (4.5.11)), on a le
Théorème 4.5.18 Si M est une martingale bornée, alors (4.5.12) a lieu pour tout temps
d’arrêt T .
Preuve. La preuve est immédiate grâce à la Proposition 4.5.16. En effet, puisque pour
tout t, nous avons E(M T ∧t ) = E(M 0 ), il suffit de faire tendre t vers l’infini et d’utiliser le
théorème de convergence dominée, grâce à la bornitude de M .
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