4.5. MARTINGALES À TEMPS CONTINU ET TEMPS D’ARRÊT
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où d(x, A) représente la distance d’un point x ∈ R à l’ensemble A. Il est évident que le
terme de droite appartient à F t .
Ce théorème devient très délicat dès que A est seulement un borélien de R ou dès que X
est seulement un processus continu à droite et limité à gauche. Dans ce cas, la propriété
reste vraie, mais pour la filtration augmentée du processus.
En revanche, le dernier temps avant un temps fixé s où X visite A, défini par S = sup{t ≤
s, X t ∈ A} (où sup ∅ = 0) n’est pas un temps d’arrêt. En effet, pour t < s, l’événement
{ω, S(ω) ≤ t} est dans F s mais pas dans F t : il dépend de toute la trajectoire de X(ω)
jusqu’au temps s.
Proposition 4.5.14 Si S et T sont deux temps d’arrêt, alors le temps aléatoire S ∧ T
défini par S ∧ T (ω) = S(ω) ∧ T (ω) = min(S(ω), T (ω)) est un temps d’arrêt.
La preuve de cette proposition est laissée au lecteur.
Si M est une martingale, on note M T la variable aléatoire définie sur Ω par M T (ω) =
M T (ω) (ω). Remarquons que dès que M ∞ est bien définie, les temps d’arrêt peuvent prendre
la valeur infinie, pourvu que l’on pose M T = M ∞ sur l’ensemble {T = ∞}.
Nous allons généraliser le Théorème 2.5.3 au temps continu et en donner une réciproque.
Théorème 4.5.15 1) Soit M une martingale. Si T est un temps d’arrêt borné, on a
E(M T ) = E(M 0 ).
(4.5.12)
2) Soit X un processus F t -adapté tel que pour tout t, E(|X t |) < +∞. Alors X est une martingale si et seulement si pour tout temps d’arrêt T borné, X T ∈ L
1 et E(X T ) = E(X 0 ).
Preuve. 1) Considérons la suite de temps aléatoires T n définis par
T n (ω) =
k
2 n , si
k − 1
2 n ≤ T (ω) <
k
2 n .
Il est facile de vérifier que les temps T n sont des temps d’arrêt à valeurs finies, puisque T
est borné. Ainsi, il existe K tel que pour tout n,
E(M Tn ) =
K2 n
k=0
E(M k
2 n
{Tn=
k
2 n } ) =
K2 n
k=0
E(E(M K |F k
2 n
) {Tn=
k
2 n } ) = E(M K ) = E(M 0 ).
(4.5.13)
Nous voulons passer à la limite en n dans (4.5.13). Par construction, la suite (T n ) converge
presque-sûrement et en décroissant vers T . Comme M est continue à droite, il s’en suit
que M Tn converge presque-sûrement vers M T . Comme T est borné par K, nous pouvons
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où d(x, A) représente la distance d’un point x ∈ R à l’ensemble A. Il est évident que le
terme de droite appartient à F t .
Ce théorème devient très délicat dès que A est seulement un borélien de R ou dès que X
est seulement un processus continu à droite et limité à gauche. Dans ce cas, la propriété
reste vraie, mais pour la filtration augmentée du processus.
En revanche, le dernier temps avant un temps fixé s où X visite A, défini par S = sup{t ≤
s, X t ∈ A} (où sup ∅ = 0) n’est pas un temps d’arrêt. En effet, pour t < s, l’événement
{ω, S(ω) ≤ t} est dans F s mais pas dans F t : il dépend de toute la trajectoire de X(ω)
jusqu’au temps s.
Proposition 4.5.14 Si S et T sont deux temps d’arrêt, alors le temps aléatoire S ∧ T
défini par S ∧ T (ω) = S(ω) ∧ T (ω) = min(S(ω), T (ω)) est un temps d’arrêt.
La preuve de cette proposition est laissée au lecteur.
Si M est une martingale, on note M T la variable aléatoire définie sur Ω par M T (ω) =
M T (ω) (ω). Remarquons que dès que M ∞ est bien définie, les temps d’arrêt peuvent prendre
la valeur infinie, pourvu que l’on pose M T = M ∞ sur l’ensemble {T = ∞}.
Nous allons généraliser le Théorème 2.5.3 au temps continu et en donner une réciproque.
Théorème 4.5.15 1) Soit M une martingale. Si T est un temps d’arrêt borné, on a
E(M T ) = E(M 0 ).
(4.5.12)
2) Soit X un processus F t -adapté tel que pour tout t, E(|X t |) < +∞. Alors X est une martingale si et seulement si pour tout temps d’arrêt T borné, X T ∈ L
1 et E(X T ) = E(X 0 ).
Preuve. 1) Considérons la suite de temps aléatoires T n définis par
T n (ω) =
k
2 n , si
k − 1
2 n ≤ T (ω) <
k
2 n .
Il est facile de vérifier que les temps T n sont des temps d’arrêt à valeurs finies, puisque T
est borné. Ainsi, il existe K tel que pour tout n,
E(M Tn ) =
K2 n
k=0
E(M k
2 n
{Tn=
k
2 n } ) =
K2 n
k=0
E(E(M K |F k
2 n
) {Tn=
k
2 n } ) = E(M K ) = E(M 0 ).
(4.5.13)
Nous voulons passer à la limite en n dans (4.5.13). Par construction, la suite (T n ) converge
presque-sûrement et en décroissant vers T . Comme M est continue à droite, il s’en suit
que M Tn converge presque-sûrement vers M T . Comme T est borné par K, nous pouvons
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