1 2 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Remarque 4.5.11 Si Y est une variable aléatoire intégrable, nous remarquons que le
processus M défini par M t = E(Y |F t ) est une martingale vérifiant la propriété (4.5.7).
En effet, pour tout t > 0,
E(|M t |) = E(|E(Y |F t )|) ≤ E(|Y |) < +∞.
De plus, E(Y
2 ) < +∞ entraîne que (4.5.9) est satisfaite et M est donc une martingale
jusqu’à l’infini.
Cela s’applique en particulier si Y est l’indicatrice d’un événement aléatoire.
Supposons par exemple que la taille d’une population au temps t soit représentée par un
processus de markov X t et que Y soit l’indicatrice de l’événement "Extinction de la population", c’est-à-dire l’événement {lim t→∞ X t = 0}. Alors, si u(x) désigne la probabilité
d’extinction quand la population initiale est de taille x, nous en déduirons par la propriété
de Markov que M t = u(X t ) définit une martingale bornée.
4.5.3 Le théorème d’arrêt
Comme dans le cas discret, les temps d’arrêt jouent un rôle très important en théorie des
probabilités. Nous allons montrer ici que la propriété de martingale s’étend sous certaines
hypothèses aux temps d’arrêt, et nous en verrons des applications importantes aux temps
d’atteinte de domaines.
La définition d’un temps d’arrêt dans le cas du temps continu généralise celle du cas
discret.
Définition 4.5.12 Etant donnée une filtration (F t ), une variable aléatoire T ∈ [0, +∞]
est un temps d’arrêt si l’événement {T ≤ t} appartient à F t pour tout t ≥ 0.
En dehors des temps constants, l’exemple fondamental de temps d’arrêt est le temps
d’atteinte d’un ensemble fermé A par un processus adapté continu X.
Proposition 4.5.13 Soit (X t , t ≥ 0) un processus continu. Soit A un ensemble fermé
de R. Définissons le temps d’entrée de X dans A par
T A = inf{t ≥ 0; X t ∈ A}
(avec la convention inf ∅ = +∞). Le temps T A est un temps d’arrêt pour la filtration
engendrée par X.
Preuve. Pour tout t, nous avons
{T A ≤ t} =
ω ; inf
s∈Q,s≤t
d(X s (ω), A) = 0
,
0
Remarque 4.5.11 Si Y est une variable aléatoire intégrable, nous remarquons que le
processus M défini par M t = E(Y |F t ) est une martingale vérifiant la propriété (4.5.7).
En effet, pour tout t > 0,
E(|M t |) = E(|E(Y |F t )|) ≤ E(|Y |) < +∞.
De plus, E(Y
2 ) < +∞ entraîne que (4.5.9) est satisfaite et M est donc une martingale
jusqu’à l’infini.
Cela s’applique en particulier si Y est l’indicatrice d’un événement aléatoire.
Supposons par exemple que la taille d’une population au temps t soit représentée par un
processus de markov X t et que Y soit l’indicatrice de l’événement "Extinction de la population", c’est-à-dire l’événement {lim t→∞ X t = 0}. Alors, si u(x) désigne la probabilité
d’extinction quand la population initiale est de taille x, nous en déduirons par la propriété
de Markov que M t = u(X t ) définit une martingale bornée.
4.5.3 Le théorème d’arrêt
Comme dans le cas discret, les temps d’arrêt jouent un rôle très important en théorie des
probabilités. Nous allons montrer ici que la propriété de martingale s’étend sous certaines
hypothèses aux temps d’arrêt, et nous en verrons des applications importantes aux temps
d’atteinte de domaines.
La définition d’un temps d’arrêt dans le cas du temps continu généralise celle du cas
discret.
Définition 4.5.12 Etant donnée une filtration (F t ), une variable aléatoire T ∈ [0, +∞]
est un temps d’arrêt si l’événement {T ≤ t} appartient à F t pour tout t ≥ 0.
En dehors des temps constants, l’exemple fondamental de temps d’arrêt est le temps
d’atteinte d’un ensemble fermé A par un processus adapté continu X.
Proposition 4.5.13 Soit (X t , t ≥ 0) un processus continu. Soit A un ensemble fermé
de R. Définissons le temps d’entrée de X dans A par
T A = inf{t ≥ 0; X t ∈ A}
(avec la convention inf ∅ = +∞). Le temps T A est un temps d’arrêt pour la filtration
engendrée par X.
Preuve. Pour tout t, nous avons
{T A ≤ t} =
ω ; inf
s∈Q,s≤t
d(X s (ω), A) = 0
,
0