4.5. MARTINGALES À TEMPS CONTINU ET TEMPS D’ARRÊT
1 1
Preuve. (du Corollaire 4.5.10). Il suffit de vérifier que chacun des trois cas entraîne
l’uniforme intégrabilité de la martingale M . C’est évident pour une martingale bornée.
Le deuxième cas découle de l’inégalité de Markov : A E(|M t | |Mt|>A ) ≤ E(M
2
t ). Dans le
troisième cas, nous pouvons tout d’abord remarquer que pour tout t ∈ [0, T ], E(|M t |) ≤
E(|M T |) et donc P(|M t | > A) converge vers 0 uniformément sur [0, T ], quand A tend vers
l’infini. Comme M T est intégrable, cela permet également de conclure par convergence
dominée qu’il en est de même de E(|M T | |Mt|>A ). La conclusion vient alors de l’inégalité
suivante :
E(|M t | |Mt|>A ) = E(|E(M T | F t )| |Mt|>A ) ≤ E(E(|M T | | F t ) |Mt|>A ) = E(|M T | |Mt|>A ).
Preuve. (du Théorème 4.5.9). Comme M est uniformément intégrable, nous pouvons
écrire
E(|M t |) = E(|M t | |Mt|≤A ) + E(|M t | |Mt|>A ) ≤ A + E(|M t | |Mt|>A ),
d’où nous déduisons que (4.5.7) est satisfaite et que M ∞ existe et est d’espérance finie.
Montrons (4.5.9). Soit F ∈ F s un événement aléatoire. Nous voulons montrer que
E(M ∞ F ) = E(M s F ).
Nous savons que pour tout t > s,
E(M t F ) = E(M s F ).
Il s’agit donc de faire tendre t vers l’infini. Remarquons que c’est immédiat si M est
bornée, en appliquant le théorème de convergence dominée. Sous l’hypothèse d’uniforme
intégrabilité, l’idée intuitive est la suivante : sur l’événement |M t | ≤ A, on peut se ramener
à l’argument précédent et l’événement complémentaire |M t | > A est "uniformément"
négligeable pour A suffisamment grand.
Développons plus précisément cette idée : soit ε, A > 0,
E(|M t − M ∞ | F ) = E(|M t − M ∞ | F |Mt−M∞|≤ε ) + E(|M t − M ∞ | F |Mt−M∞|>ε )
≤ ε + E(|M ∞ | F |Mt−M∞|>ε ) + E(|M t | F |Mt−M∞|>ε ).
La convergence presque-sûre de M t vers M ∞ entraîne sa convergence en probabilité et
P(|M t − M ∞ | > ε) tend vers 0 quand t tend vers l’infini (pour tout ε > 0 fixé). Puisque
M ∞ est intégrable, le second terme de l’expression ci-dessus tend donc vers 0 (par théorème
de convergence dominée). Etudions le troisième terme. Nous avons
E(|M t | F |Mt−M∞|>ε ) = E(|M t | F |Mt−M∞|>ε |Mt|>A ) + E(|M t | F |Mt−M∞|>ε |Mt|≤A ).
Le premier terme est inférieur à E(|M t | |Mt|>A ) et tend vers 0 uniformément en t quand
A tend vers l’infini et le second terme est inférieur à A P(|M t − M ∞ | > ε). Regroupant
toutes ces informations, avec ε suffisamment petit, nous en déduisons le résultat.
0
1 1
Preuve. (du Corollaire 4.5.10). Il suffit de vérifier que chacun des trois cas entraîne
l’uniforme intégrabilité de la martingale M . C’est évident pour une martingale bornée.
Le deuxième cas découle de l’inégalité de Markov : A E(|M t | |Mt|>A ) ≤ E(M
2
t ). Dans le
troisième cas, nous pouvons tout d’abord remarquer que pour tout t ∈ [0, T ], E(|M t |) ≤
E(|M T |) et donc P(|M t | > A) converge vers 0 uniformément sur [0, T ], quand A tend vers
l’infini. Comme M T est intégrable, cela permet également de conclure par convergence
dominée qu’il en est de même de E(|M T | |Mt|>A ). La conclusion vient alors de l’inégalité
suivante :
E(|M t | |Mt|>A ) = E(|E(M T | F t )| |Mt|>A ) ≤ E(E(|M T | | F t ) |Mt|>A ) = E(|M T | |Mt|>A ).
Preuve. (du Théorème 4.5.9). Comme M est uniformément intégrable, nous pouvons
écrire
E(|M t |) = E(|M t | |Mt|≤A ) + E(|M t | |Mt|>A ) ≤ A + E(|M t | |Mt|>A ),
d’où nous déduisons que (4.5.7) est satisfaite et que M ∞ existe et est d’espérance finie.
Montrons (4.5.9). Soit F ∈ F s un événement aléatoire. Nous voulons montrer que
E(M ∞ F ) = E(M s F ).
Nous savons que pour tout t > s,
E(M t F ) = E(M s F ).
Il s’agit donc de faire tendre t vers l’infini. Remarquons que c’est immédiat si M est
bornée, en appliquant le théorème de convergence dominée. Sous l’hypothèse d’uniforme
intégrabilité, l’idée intuitive est la suivante : sur l’événement |M t | ≤ A, on peut se ramener
à l’argument précédent et l’événement complémentaire |M t | > A est "uniformément"
négligeable pour A suffisamment grand.
Développons plus précisément cette idée : soit ε, A > 0,
E(|M t − M ∞ | F ) = E(|M t − M ∞ | F |Mt−M∞|≤ε ) + E(|M t − M ∞ | F |Mt−M∞|>ε )
≤ ε + E(|M ∞ | F |Mt−M∞|>ε ) + E(|M t | F |Mt−M∞|>ε ).
La convergence presque-sûre de M t vers M ∞ entraîne sa convergence en probabilité et
P(|M t − M ∞ | > ε) tend vers 0 quand t tend vers l’infini (pour tout ε > 0 fixé). Puisque
M ∞ est intégrable, le second terme de l’expression ci-dessus tend donc vers 0 (par théorème
de convergence dominée). Etudions le troisième terme. Nous avons
E(|M t | F |Mt−M∞|>ε ) = E(|M t | F |Mt−M∞|>ε |Mt|>A ) + E(|M t | F |Mt−M∞|>ε |Mt|≤A ).
Le premier terme est inférieur à E(|M t | |Mt|>A ) et tend vers 0 uniformément en t quand
A tend vers l’infini et le second terme est inférieur à A P(|M t − M ∞ | > ε). Regroupant
toutes ces informations, avec ε suffisamment petit, nous en déduisons le résultat.
0