1 0 CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Remarque 4.5.7 Ce théorème est l’un des rares résultats de convergence presque-sûre
en temps long. C’est pourquoi de nombreuses preuves pour prouver la convergence d’un
processus quand le temps tend vers l’infini, consistent à mettre en évidence une martingale
et à lui appliquer ensuite le Théorème 4.5.6 .
Observons que la propriété d’intégrabilité (4.5.7) n’est pas vraie pour le mouvement brownien B, pour lequel E(|B t |) =
2t/π, ni pour le processus M de la Proposition 4.5.3,
pour lequel E(|M t |) = ct pour une constante c > 0, tandis qu’elle est vraie pour le troisième exemple. En effet, pour tout λ, E(|M
λ
t |) = E(M
λ
t ) = 1. Dans ce cas, le Théorème
4.5.6 implique que pour chaque nombre réel λ, il existe M
λ
∞ ∈] − ∞, +∞[ telle que M
λ
t
converge presque-sûrement vers M
λ
∞ quand t tend vers l’infini. On peut de plus montrer
dans ce dernier cas, en utilisant la loi du logarithme itéré (énoncée en Proposition 4.3.2),
que M
λ
∞ = 0 si λ = 0, et que par ailleurs, M
λ
∞ = 1 si λ = 0, puisque M
0
t = 1 pour tout t.
Ainsi, l’égalité (4.5.4) est clairement fausse quand t = +∞, sauf dans le cas où λ = 0.
Une question importante est de savoir quand l’égalité (4.5.3) reste vraie pour t = +∞.
Comme nous venons de le remarquer par l’exemple 3 de la Proposition 4.5.3, les hypothèses doivent être strictement plus fortes que l’hypothèse d’intégrabilité (4.5.7). La bonne
hypothèse est une hypothèse d’uniforme intégrabilité que nous définissons maintenant.
Définition 4.5.8 On dit que le processus (M t , t ∈ R + ) est uniformément intégrable si
pour tout A > 0,
lim
A→∞
sup
t∈R+
E(|M t | |Mt|>A )
= 0.
(4.5.8)
Théorème 4.5.9 Si la martingale M est uniformément intégrable, alors M t converge
presque-sûrement vers M ∞ quand t tend vers l’infini et pour tout t > 0,
M t = E(M ∞ |F t ).
(4.5.9)
En particulier,
E(M ∞ ) = E(M 0 ).
(4.5.10)
Corollaire 4.5.10 Les propriétés (4.5.9) et (4.5.10) sont satisfaites dès lors que la martingale M satisfait l’une des trois propriétés suivantes :
1) La martingale M est bornée, au sens où il existe K > 0 tel que
∀ ω, ∀ t, |M t (ω)| ≤ K.
(4.5.11)
2) La martingale M est uniformément de carré intégrable, au sens où elle vérifie la propriété sup t∈R+ E(M
2
t ) < +∞.
3) La martingale est définie sur un intervalle de temps borné [0, T ].
0
Remarque 4.5.7 Ce théorème est l’un des rares résultats de convergence presque-sûre
en temps long. C’est pourquoi de nombreuses preuves pour prouver la convergence d’un
processus quand le temps tend vers l’infini, consistent à mettre en évidence une martingale
et à lui appliquer ensuite le Théorème 4.5.6 .
Observons que la propriété d’intégrabilité (4.5.7) n’est pas vraie pour le mouvement brownien B, pour lequel E(|B t |) =
2t/π, ni pour le processus M de la Proposition 4.5.3,
pour lequel E(|M t |) = ct pour une constante c > 0, tandis qu’elle est vraie pour le troisième exemple. En effet, pour tout λ, E(|M
λ
t |) = E(M
λ
t ) = 1. Dans ce cas, le Théorème
4.5.6 implique que pour chaque nombre réel λ, il existe M
λ
∞ ∈] − ∞, +∞[ telle que M
λ
t
converge presque-sûrement vers M
λ
∞ quand t tend vers l’infini. On peut de plus montrer
dans ce dernier cas, en utilisant la loi du logarithme itéré (énoncée en Proposition 4.3.2),
que M
λ
∞ = 0 si λ = 0, et que par ailleurs, M
λ
∞ = 1 si λ = 0, puisque M
0
t = 1 pour tout t.
Ainsi, l’égalité (4.5.4) est clairement fausse quand t = +∞, sauf dans le cas où λ = 0.
Une question importante est de savoir quand l’égalité (4.5.3) reste vraie pour t = +∞.
Comme nous venons de le remarquer par l’exemple 3 de la Proposition 4.5.3, les hypothèses doivent être strictement plus fortes que l’hypothèse d’intégrabilité (4.5.7). La bonne
hypothèse est une hypothèse d’uniforme intégrabilité que nous définissons maintenant.
Définition 4.5.8 On dit que le processus (M t , t ∈ R + ) est uniformément intégrable si
pour tout A > 0,
lim
A→∞
sup
t∈R+
E(|M t | |Mt|>A )
= 0.
(4.5.8)
Théorème 4.5.9 Si la martingale M est uniformément intégrable, alors M t converge
presque-sûrement vers M ∞ quand t tend vers l’infini et pour tout t > 0,
M t = E(M ∞ |F t ).
(4.5.9)
En particulier,
E(M ∞ ) = E(M 0 ).
(4.5.10)
Corollaire 4.5.10 Les propriétés (4.5.9) et (4.5.10) sont satisfaites dès lors que la martingale M satisfait l’une des trois propriétés suivantes :
1) La martingale M est bornée, au sens où il existe K > 0 tel que
∀ ω, ∀ t, |M t (ω)| ≤ K.
(4.5.11)
2) La martingale M est uniformément de carré intégrable, au sens où elle vérifie la propriété sup t∈R+ E(M
2
t ) < +∞.
3) La martingale est définie sur un intervalle de temps borné [0, T ].
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