4.5. MARTINGALES À TEMPS CONTINU ET TEMPS D’ARRÊT
9
Il suffit de prouver (i) =⇒ (ii). Pour cela, on montre que pour tout 0 ≤ s ≤ t,
E(e
λ(Mt−Ms)
|F s ) = e
λ 2
2
(t−s) , ce qui suffit à caractériser le mouvement brownien. L’idée
intuitive de la preuve est simple : faire un développement limité à l’ordre 2 de e
λx et
utiliser (i). Néanmoins les détails techniques sont nombreux et nous renvoyons au livre
de Comets-Meyre [25]. Une autre preuve moins élémentaire consiste à utiliser le calcul
stochastique.
4.5.2 Inégalités fondamentales et comportement à l’infini
Une des raisons qui font que les martingales sont centrales dans la théorie des probabilités
est qu’elles permettent d’obtenir des inégalités très utiles en pratique. Nous avons déjà
prouvé ces inégalités en temps discret dans la Proposition 2.5.5. Elles sont donc vraies
pour un processus à temps continu restreint aux temps rationnels. Puisque que tous les
processus sont continus à droite et limités à gauche, les résultats se généralisent à tout
temps par un passage à la limite, dont nous ne donnerons pas les détails. Les inégalités
ci-dessous sont connues sous le nom d’inégalités de Doob.
Proposition 4.5.5 Considérons une martingale (M t , t ≥ 0). Nous avons alors pour tout
α > 0 et tout p > 1,
P(sup
s≤t
|M s | ≥ α) ≤
E(|M t |)
α
(4.5.5)
et
E((sup
s≤t
|M s |)
p ) ≤
p
p − 1
p E(|M t |
p ).
(4.5.6)
Il est facile de montrer par l’inégalité de Jensen que pour s < t, E(|M t | |F s ) ≥ |M s | et
donc que t → E(|M t |) est croissante. La grande force de ces inégalités est de pouvoir, en
quelque sorte, échanger l’espérance et le supremum.
L’une des plus puissantes propriétés des martingales est le théorème suivant, qui décrit
le comportement en temps long d’une martingale dont les premiers moments E(|M t |)
sont uniformément bornés (en t). Ce théorème a beaucoup d’applications. La preuve
généralise celle du théorème analogue pour les martingales à temps discret et utilise
certaines variations des inégalités fondamentales de martingales. Nous ne la développerons
pas dans ce livre et nous renvoyons le lecteur à des références classiques (Shreve-Karatzas
[45], Revuz-Yor [66]).
Théorème 4.5.6 Si (M t , t ≥ 0) est une martingale satisfaisant
sup
t∈R+
E(|M t |) < +∞,
(4.5.7)
alors il existe une variable aléatoire M ∞ ∈] − ∞, +∞[ intégrable telle que M t converge
presque-sûrement vers M ∞ quand t tend vers l’infini.
9
9
Il suffit de prouver (i) =⇒ (ii). Pour cela, on montre que pour tout 0 ≤ s ≤ t,
E(e
λ(Mt−Ms)
|F s ) = e
λ 2
2
(t−s) , ce qui suffit à caractériser le mouvement brownien. L’idée
intuitive de la preuve est simple : faire un développement limité à l’ordre 2 de e
λx et
utiliser (i). Néanmoins les détails techniques sont nombreux et nous renvoyons au livre
de Comets-Meyre [25]. Une autre preuve moins élémentaire consiste à utiliser le calcul
stochastique.
4.5.2 Inégalités fondamentales et comportement à l’infini
Une des raisons qui font que les martingales sont centrales dans la théorie des probabilités
est qu’elles permettent d’obtenir des inégalités très utiles en pratique. Nous avons déjà
prouvé ces inégalités en temps discret dans la Proposition 2.5.5. Elles sont donc vraies
pour un processus à temps continu restreint aux temps rationnels. Puisque que tous les
processus sont continus à droite et limités à gauche, les résultats se généralisent à tout
temps par un passage à la limite, dont nous ne donnerons pas les détails. Les inégalités
ci-dessous sont connues sous le nom d’inégalités de Doob.
Proposition 4.5.5 Considérons une martingale (M t , t ≥ 0). Nous avons alors pour tout
α > 0 et tout p > 1,
P(sup
s≤t
|M s | ≥ α) ≤
E(|M t |)
α
(4.5.5)
et
E((sup
s≤t
|M s |)
p ) ≤
p
p − 1
p E(|M t |
p ).
(4.5.6)
Il est facile de montrer par l’inégalité de Jensen que pour s < t, E(|M t | |F s ) ≥ |M s | et
donc que t → E(|M t |) est croissante. La grande force de ces inégalités est de pouvoir, en
quelque sorte, échanger l’espérance et le supremum.
L’une des plus puissantes propriétés des martingales est le théorème suivant, qui décrit
le comportement en temps long d’une martingale dont les premiers moments E(|M t |)
sont uniformément bornés (en t). Ce théorème a beaucoup d’applications. La preuve
généralise celle du théorème analogue pour les martingales à temps discret et utilise
certaines variations des inégalités fondamentales de martingales. Nous ne la développerons
pas dans ce livre et nous renvoyons le lecteur à des références classiques (Shreve-Karatzas
[45], Revuz-Yor [66]).
Théorème 4.5.6 Si (M t , t ≥ 0) est une martingale satisfaisant
sup
t∈R+
E(|M t |) < +∞,
(4.5.7)
alors il existe une variable aléatoire M ∞ ∈] − ∞, +∞[ intégrable telle que M t converge
presque-sûrement vers M ∞ quand t tend vers l’infini.
9