CHAPITRE 4. MOUVEMENT BROWNIEN ET PROCESSUS DE DIFFUSION
Dans ce paragraphe, tout processus X sera supposé adapté à la filtration (F t ) t du mouvement brownien B. Intuitivement, cela signifie que les événements du type {X t ∈ A}
peuvent s’exprimer à partir de la connaissance de la trajectoire brownienne B jusqu’au
temps t.
Définition 4.5.2 Un processus à valeurs réelles M = (M t ) t≥0 , adapté à (F t ), est une
martingale si chaque variable M t est intégrable et si
s ≤ t =⇒ E(M t |F s ) = M s .
(4.5.3)
En particulier, l’espérance E(M t ) d’une martingale ne dépend pas de t : pour tout t,
E(M t ) = E(M 0 ).
(4.5.4)
Pour plus de détails, nous renvoyons aux livres suivants (mais cela n’est pas exhaustif) :
Shreve-Karatzas [45], Revuz-Yor [66].
Voyons tout d’abord quelques exemples fondamentaux de martingales adaptées à la filtration brownienne.
Proposition 4.5.3 Les trois processus F t -adaptés suivants sont des martingales.
1. Le mouvement brownien (B t , t ≥ 0).
2. Le processus (M t , t ≥ 0) défini pour tout t par M t = B
2
t − t.
3. Le processus (M
λ
t , t ≥ 0) défini par M
λ
t = exp(λB t −
λ 2
2
t) , pour tout λ ∈ R.
Preuve. Les propriétés (4.5.1) et (4.5.2) entraînent de manière immédiate que les processus B et M sont des martingales. De plus, il est clair que pour tout λ > 0, M
λ est F t -
adapté et que M
λ
t est intégrable, puisque E(|M
λ
t |) = E(M
λ
t ) = 1. En effet, il est facile de
vérifier que pour une variable aléatoire U de loi N (0, σ
2 ), E(exp(λU )) = exp
λ 2 σ 2
2
. De
plus, si s ≤ t, nous pouvons écrire E
M
λ
t |F s
= M
λ
s E
exp(λ(B t − B s ) −
λ 2
2
(t − s))
,
puisque B t − B s est indépendant de F s . Comme E
exp(λ(B t − B s ) −
λ 2
2
(t − s))
= 1,
nous en déduisons que E
M
λ
t |F s
= M
λ
s .
Nous avons en fait une réciproque de cette proposition, qui est une caractérisation du
mouvement brownien due à Paul Lévy.
Proposition 4.5.4 Soit (M t ) t≥0 un processus stochastique à valeurs réelles et à trajectoires presque-sûrement continues. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) (M t ) t≥0 et (M
2
t − t) t≥0 sont des martingales pour la filtration engendrée par M .
(ii) (M t ) t≥0 est un mouvement brownien.
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Dans ce paragraphe, tout processus X sera supposé adapté à la filtration (F t ) t du mouvement brownien B. Intuitivement, cela signifie que les événements du type {X t ∈ A}
peuvent s’exprimer à partir de la connaissance de la trajectoire brownienne B jusqu’au
temps t.
Définition 4.5.2 Un processus à valeurs réelles M = (M t ) t≥0 , adapté à (F t ), est une
martingale si chaque variable M t est intégrable et si
s ≤ t =⇒ E(M t |F s ) = M s .
(4.5.3)
En particulier, l’espérance E(M t ) d’une martingale ne dépend pas de t : pour tout t,
E(M t ) = E(M 0 ).
(4.5.4)
Pour plus de détails, nous renvoyons aux livres suivants (mais cela n’est pas exhaustif) :
Shreve-Karatzas [45], Revuz-Yor [66].
Voyons tout d’abord quelques exemples fondamentaux de martingales adaptées à la filtration brownienne.
Proposition 4.5.3 Les trois processus F t -adaptés suivants sont des martingales.
1. Le mouvement brownien (B t , t ≥ 0).
2. Le processus (M t , t ≥ 0) défini pour tout t par M t = B
2
t − t.
3. Le processus (M
λ
t , t ≥ 0) défini par M
λ
t = exp(λB t −
λ 2
2
t) , pour tout λ ∈ R.
Preuve. Les propriétés (4.5.1) et (4.5.2) entraînent de manière immédiate que les processus B et M sont des martingales. De plus, il est clair que pour tout λ > 0, M
λ est F t -
adapté et que M
λ
t est intégrable, puisque E(|M
λ
t |) = E(M
λ
t ) = 1. En effet, il est facile de
vérifier que pour une variable aléatoire U de loi N (0, σ
2 ), E(exp(λU )) = exp
λ 2 σ 2
2
. De
plus, si s ≤ t, nous pouvons écrire E
M
λ
t |F s
= M
λ
s E
exp(λ(B t − B s ) −
λ 2
2
(t − s))
,
puisque B t − B s est indépendant de F s . Comme E
exp(λ(B t − B s ) −
λ 2
2
(t − s))
= 1,
nous en déduisons que E
M
λ
t |F s
= M
λ
s .
Nous avons en fait une réciproque de cette proposition, qui est une caractérisation du
mouvement brownien due à Paul Lévy.
Proposition 4.5.4 Soit (M t ) t≥0 un processus stochastique à valeurs réelles et à trajectoires presque-sûrement continues. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) (M t ) t≥0 et (M
2
t − t) t≥0 sont des martingales pour la filtration engendrée par M .
(ii) (M t ) t≥0 est un mouvement brownien.
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