6.4 Convergence en loi
87
X n est symétrique donc tous ses moments impairs sont nuls. Pour le moment
d’ordre 2, on a, pour n 0,
E
X
2
n+1 |F n
=
n + 2 − X n
2(n + 2)
(X n + 1)
2 +
n + 2 + X n
2(n + 2)
(X n − 1)
2
= 1 +
n
n + 2
X
2
n .
En posant x n (2) = E(X
2
n ) et en prenant l’espérance dans la relation ci-dessus,
on obtient, pour n 1,
x n+1 (2) = 1 +
n
n + 2
x n (2) et x 1 (2) = 1.
Une récurrence donne
x n (2) = 1 +
1
n(n + 1)
n−1
k=1
k(k + 1),
et (x n (2)/n) n1 converge donc vers 1/3. On peut établir de même que pour
tout k 0, la suite (x n (2k)/n
k ) n1 admet une limite μ(2k) et que la suite
(μ(2k)) k∈N est solution de
μ(0) = 1 et μ(2k + 2) =
2k + 1
3
μ(2k).
Or d’après le théorème 21.7, la seule mesure de probabilité dont les moments
pairs vérifient la récurrence ci-dessus et les moments impairs sont nuls est
la loi N (0, 1/3). D’autre part, d’après le théorème 21.6, la convergence des
moments vers une mesure de probabilité caractérisée par ses moments entraîne
la convergence en loi. On obtient ainsi la convergence en loi de X n /
√ n vers
la mesure gaussienne centrée de variance 1/3.
Un autre moyen d’établir la convergence annoncée est d’utiliser un raisonnement basé sur le théorème limite central pour les martingales. Il existe
plusieurs jeux d’hypothèses plus ou moins faciles à vérifier. Voici le théorème
que nous utiliserons dans la suite.
Théorème 6.8 (TLC pour martingales). Soit (M n ) n0 une martingale de
carré intégrable pour une filtration (F n ) n0 , et soit (a n ) n0 une suite réelle,
strictement positive, déterministe croissante vers l’infini. On pose
M 0 = 0 et M n+1 = M n + E((ΔM n+1 )
2 | F n ),
où ΔM n := M n − M n−1 . Supposons que
1. il existe λ 0 déterministe tel que a
−1
n M n
P
−→
n→∞
λ,
2. (condition de Lyapunov) il existe δ > 0 tel que
1
(a n ) 1+δ/2
n
k=1
E
ΔM
2+δ
k
| F k−1
P
−→
n→∞
0.
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X n est symétrique donc tous ses moments impairs sont nuls. Pour le moment
d’ordre 2, on a, pour n 0,
E
X
2
n+1 |F n
=
n + 2 − X n
2(n + 2)
(X n + 1)
2 +
n + 2 + X n
2(n + 2)
(X n − 1)
2
= 1 +
n
n + 2
X
2
n .
En posant x n (2) = E(X
2
n ) et en prenant l’espérance dans la relation ci-dessus,
on obtient, pour n 1,
x n+1 (2) = 1 +
n
n + 2
x n (2) et x 1 (2) = 1.
Une récurrence donne
x n (2) = 1 +
1
n(n + 1)
n−1
k=1
k(k + 1),
et (x n (2)/n) n1 converge donc vers 1/3. On peut établir de même que pour
tout k 0, la suite (x n (2k)/n
k ) n1 admet une limite μ(2k) et que la suite
(μ(2k)) k∈N est solution de
μ(0) = 1 et μ(2k + 2) =
2k + 1
3
μ(2k).
Or d’après le théorème 21.7, la seule mesure de probabilité dont les moments
pairs vérifient la récurrence ci-dessus et les moments impairs sont nuls est
la loi N (0, 1/3). D’autre part, d’après le théorème 21.6, la convergence des
moments vers une mesure de probabilité caractérisée par ses moments entraîne
la convergence en loi. On obtient ainsi la convergence en loi de X n /
√ n vers
la mesure gaussienne centrée de variance 1/3.
Un autre moyen d’établir la convergence annoncée est d’utiliser un raisonnement basé sur le théorème limite central pour les martingales. Il existe
plusieurs jeux d’hypothèses plus ou moins faciles à vérifier. Voici le théorème
que nous utiliserons dans la suite.
Théorème 6.8 (TLC pour martingales). Soit (M n ) n0 une martingale de
carré intégrable pour une filtration (F n ) n0 , et soit (a n ) n0 une suite réelle,
strictement positive, déterministe croissante vers l’infini. On pose
M 0 = 0 et M n+1 = M n + E((ΔM n+1 )
2 | F n ),
où ΔM n := M n − M n−1 . Supposons que
1. il existe λ 0 déterministe tel que a
−1
n M n
P
−→
n→∞
λ,
2. (condition de Lyapunov) il existe δ > 0 tel que
1
(a n ) 1+δ/2
n
k=1
E
ΔM
2+δ
k
| F k−1
P
−→
n→∞
0.