86
6 Agrégation limitée par diffusion interne
Ainsi (|X n |) n0 est une chaîne de Markov (suite récurrente aléatoire) inhomogène. Pour établir que |X n |/n → 0 presque sûrement, on procède par couplage.
Plus précisément, on construit deux processus (Y n ) n0 et (Z n ) n0 comme
suit : Y 0 = Z 0 = 0 et pour n 0,
Y n+1 =
Y n + 21 {Un+1<(n+2−Yn)/2(n+2)} − 1 si Y n > 0,
1
s i Y n = 0,
et
Z n+1 =
Z n + 21 {Un+1<1/2} − 1 si Z n > 0,
1
s i Z n = 0,
où (U n ) n1 est une suite de v.a.r. i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1]. Le processus
(Y n ) n0 a la loi de (|X n |) n0 tandis que le processus (Z n ) n0 a même loi
que la valeur absolue d’une marche aléatoire simple. Ce couplage est tel que
presque sûrement, pour tout n ∈ N, 0 Y n Z n . En effet, si 0 < Y n Z n
alors, par construction, Y n+1 Z n+1 . Par ailleurs, si 0 = Y n Z n alors, Z n
peut être nul et dans ce cas, Y n+1 Z n+1 ou Z n 2 car Z n et Y n ont même
parité. Enfin, Z n /n → 0 p.s. grâce à la loi forte des grands nombres.
Remarque 6.5 (Espérance). Le théorème 6.2 donne, avec a n+1 :=
n+1
n+2 ,
E(|X n+1 | | |X n |) = 1 |Xn|=0 + a n+1 |X n |1 |Xn| =0
d’où, en observant que |X n |1 |Xn| =0 = |X n |,
E(|X n+1 |) = P(X n = 0) + a n+1 E(|X n |).
6.4 Convergence en loi
On s’intéresse à présent aux fluctuations de X n /n autour de sa limite.
Dans cette section, on donne des éléments de preuve du résultat suivant.
Théorème 6.6 (Convergence en loi). La convergence en loi suivante a lieu :
X n
√ n
loi
−→
n→∞
N
0,
1
3
.
Remarque 6.7 (Comparaison avec le théorème limite central). La vitesse
de convergence en loi de (X n ) n0 est la même que pour la marche aléatoire
simple et la loi limite est encore gaussienne. Pourtant sa variance asymptotique est plus petite que dans le cas identiquement distribué. Cela provient de
la tendance auto-stabilisatrice de la chaîne (X n ) n0 .
Avant d’aborder la démonstration du théorème 6.6, étudions le comportement des premiers moments de X n /n quand n tend vers l’infini. La loi de
6 Agrégation limitée par diffusion interne
Ainsi (|X n |) n0 est une chaîne de Markov (suite récurrente aléatoire) inhomogène. Pour établir que |X n |/n → 0 presque sûrement, on procède par couplage.
Plus précisément, on construit deux processus (Y n ) n0 et (Z n ) n0 comme
suit : Y 0 = Z 0 = 0 et pour n 0,
Y n+1 =
Y n + 21 {Un+1<(n+2−Yn)/2(n+2)} − 1 si Y n > 0,
1
s i Y n = 0,
et
Z n+1 =
Z n + 21 {Un+1<1/2} − 1 si Z n > 0,
1
s i Z n = 0,
où (U n ) n1 est une suite de v.a.r. i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1]. Le processus
(Y n ) n0 a la loi de (|X n |) n0 tandis que le processus (Z n ) n0 a même loi
que la valeur absolue d’une marche aléatoire simple. Ce couplage est tel que
presque sûrement, pour tout n ∈ N, 0 Y n Z n . En effet, si 0 < Y n Z n
alors, par construction, Y n+1 Z n+1 . Par ailleurs, si 0 = Y n Z n alors, Z n
peut être nul et dans ce cas, Y n+1 Z n+1 ou Z n 2 car Z n et Y n ont même
parité. Enfin, Z n /n → 0 p.s. grâce à la loi forte des grands nombres.
Remarque 6.5 (Espérance). Le théorème 6.2 donne, avec a n+1 :=
n+1
n+2 ,
E(|X n+1 | | |X n |) = 1 |Xn|=0 + a n+1 |X n |1 |Xn| =0
d’où, en observant que |X n |1 |Xn| =0 = |X n |,
E(|X n+1 |) = P(X n = 0) + a n+1 E(|X n |).
6.4 Convergence en loi
On s’intéresse à présent aux fluctuations de X n /n autour de sa limite.
Dans cette section, on donne des éléments de preuve du résultat suivant.
Théorème 6.6 (Convergence en loi). La convergence en loi suivante a lieu :
X n
√ n
loi
−→
n→∞
N
0,
1
3
.
Remarque 6.7 (Comparaison avec le théorème limite central). La vitesse
de convergence en loi de (X n ) n0 est la même que pour la marche aléatoire
simple et la loi limite est encore gaussienne. Pourtant sa variance asymptotique est plus petite que dans le cas identiquement distribué. Cela provient de
la tendance auto-stabilisatrice de la chaîne (X n ) n0 .
Avant d’aborder la démonstration du théorème 6.6, étudions le comportement des premiers moments de X n /n quand n tend vers l’infini. La loi de