6.3 Convergence presque sûre
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P(X n+1 = i − 1 | X n = i) =
n + 2 + i
2(n + 2)
et
P(X n+1 = i + 1 | X n = i) =
n + 2 − i
2(n + 2)
.
Démonstration. Pour tout n 1,
{X n = i} =
D n =
i + n
2
, G n =
i − n
2
.
La probabilité P(X n+1 = i − 1 | X n = i) est donc égale à la probabilité que
la marche aléatoire simple (S n ) n0 issue de 0 atteigne (i − n)/2 − 1 avant
(i + n)/2 + 1. Or d’après le théorème 2.2 (ruine du joueur) si a 0 et b 0
sont deux entiers distincts, et si T i := inf {n 0, S n = i} pour i ∈ {a, b} et
T := T a ∧ T b , alors, T est intégrable et
P(T = T a ) = 1 − P(T = T b ) =
b
b − a
et E(T ) = −ab.
𚵾
𚵾
Remarque 6.3 (Équilibrage). Lorsque X n est strictement positif, X n+1 −X n
a une probabilité plus forte de valoir -1 que de valoir +1. La tendance s’inverse
lorsque X n est strictement négatif. On peut donc penser que le processus aura
davantage tendance à revenir en 0 qu’une marche aléatoire simple symétrique
(dont l’accroissement vaut plus ou moins 1 avec probabilité 1/2).
6.3 Convergence presque sûre
On établit ici le premier résultat de convergence en temps long pour le
processus (X n ) n0 du modèle unidimensionnel. L’idée de la preuve est de
rendre rigoureuse l’intuition de la remarque 6.3 en comparant la valeur absolue
de (X n ) n0 à celle de la marche aléatoire simple par une méthode de couplage.
Théorème 6.4 (Convergence presque sûre). Le processus (|X n |) n0 est une
chaîne de Markov inhomogène et
|X n |
n
p.s.
−→
n→∞
0 d’où
G n
n
p.s.
−→
n→∞
−
1
2
et
D n
n
p.s.
−→
n→∞
1
2
.
Démonstration. En discutant suivant les valeurs possibles de X n , on constate
que |X n+1 | = 1 si |X n | = 0, et que si |X n | > 0 alors
|X n+1 | =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
|X n | − 1 avec probabilité
1
2
+
|X n |
2(n + 2)
,
|X n | + 1 avec probabilité
1
2
−
|X n |
2(n + 2)
.