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6 Agrégation limitée par diffusion interne
emplacements voisins de l’origine. On modélise la trajectoire d’une particule
radioactive sortant du fût par une marche aléatoire simple symétrique sur Z
d
issue de 0 et arrêtée lorsqu’elle quitte le point A(0). On note A(1) l’ensemble
aléatoire composé de 0 et du point où la particule est sortie. Pour tout x
voisin de 0, A(1) est égal à {0, x} avec probabilité 1/2d. On itère ensuite
le procédé. Étant donné un ensemble A(n) ⊂ Z
d , on considère une marche
aléatoire symétrique (S k ) k0 issue de 0 arrêtée lorsqu’elle sort de A(n). On
définit alors A(n + 1) comme l’ensemble des éléments de A(n) et du point où
est sortie la marche S. Ce modèle est connu sous le nom de agrégation limitée
par diffusion interne
1 .
On obtient ainsi une suite (A(n)) n0 d’ensembles aléatoires. Le résultat
suivant regroupe quelques propriétés immédiates de cette suite.
Théorème 6.1 (Propriétés immédiates). La suite (A(n)) n0 est croissante
au sens de l’inclusion. Le cardinal de A(n) vaut exactement n + 1. Pour tout
n ∈ N, soit x et y deux éléments de A(n), alors il existe x 0 , . . . , x m éléments
de A(n) tels que x 0 = x, x m = y et x i ∼ x i+1 pour i = 0, . . . , m − 1. On
pourrait dire que l’ensemble A(n) est connexe par arcs dans Z
d .
On souhaite à présent étudier le comportement asymptotique de la suite
(A(n)) n0 . On étudie en détail le cas de la dimension 1. L’étude en dimension
supérieure, beaucoup plus délicate, est évoquée dans les sections 6.6 et 6.7.
6.2 Modèle unidimensionnel
On suppose que la propagation se fait selon un axe horizontal. On se
place donc dans le cas où d = 1. L’ensemble initial A 0 est le singleton {0}
puis A 1 est égal à {0, 1} avec probabilité 1/2 et {−1, 0} avec probabilité 1/2,
etc. Notons G n = min A n et D n = max A n . L’ensemble A n est de la forme
A n = {G n , G n + 1, . . . , D n − 1, D n }. Puisque le cardinal de A n est n + 1, on a
D n − G n = n. Ainsi, A n est caractérisé par X n = D n + G n et, en particulier,
D n =
X n + n
2
et G n =
X n − n
2
.
Les accroissements (X n+1 − X n ) n0 ne peuvent prendre que les valeurs −1
ou 1. Plus précisément, X n+1 = X n − 1 si la marche issue de 0 atteint G n − 1
avant D n + 1, et X n+1 = X n + 1 si la marche issue de 0 atteint D n + 1
avant G n − 1. La symétrie de la marche aléatoire sous-jacente fait que la loi
de X n est symétrique pour tout n 0. En particulier, pour tout n 0, on a
0 = E(X n ) = E(D n ) + E(G n ) et donc E(D n ) = n/2 et E(G n ) = −n/2.
Théorème 6.2 (Évolution markovienne). La suite (X n ) n0 est une chaîne
de Markov inhomogène sur Z issue de 0 dont les transitions sont décrites par
les relations suivantes : pour −n i n,
1. «Internal Diffusion Limited Agregation (IDLA)» en anglais.
6 Agrégation limitée par diffusion interne
emplacements voisins de l’origine. On modélise la trajectoire d’une particule
radioactive sortant du fût par une marche aléatoire simple symétrique sur Z
d
issue de 0 et arrêtée lorsqu’elle quitte le point A(0). On note A(1) l’ensemble
aléatoire composé de 0 et du point où la particule est sortie. Pour tout x
voisin de 0, A(1) est égal à {0, x} avec probabilité 1/2d. On itère ensuite
le procédé. Étant donné un ensemble A(n) ⊂ Z
d , on considère une marche
aléatoire symétrique (S k ) k0 issue de 0 arrêtée lorsqu’elle sort de A(n). On
définit alors A(n + 1) comme l’ensemble des éléments de A(n) et du point où
est sortie la marche S. Ce modèle est connu sous le nom de agrégation limitée
par diffusion interne
1 .
On obtient ainsi une suite (A(n)) n0 d’ensembles aléatoires. Le résultat
suivant regroupe quelques propriétés immédiates de cette suite.
Théorème 6.1 (Propriétés immédiates). La suite (A(n)) n0 est croissante
au sens de l’inclusion. Le cardinal de A(n) vaut exactement n + 1. Pour tout
n ∈ N, soit x et y deux éléments de A(n), alors il existe x 0 , . . . , x m éléments
de A(n) tels que x 0 = x, x m = y et x i ∼ x i+1 pour i = 0, . . . , m − 1. On
pourrait dire que l’ensemble A(n) est connexe par arcs dans Z
d .
On souhaite à présent étudier le comportement asymptotique de la suite
(A(n)) n0 . On étudie en détail le cas de la dimension 1. L’étude en dimension
supérieure, beaucoup plus délicate, est évoquée dans les sections 6.6 et 6.7.
6.2 Modèle unidimensionnel
On suppose que la propagation se fait selon un axe horizontal. On se
place donc dans le cas où d = 1. L’ensemble initial A 0 est le singleton {0}
puis A 1 est égal à {0, 1} avec probabilité 1/2 et {−1, 0} avec probabilité 1/2,
etc. Notons G n = min A n et D n = max A n . L’ensemble A n est de la forme
A n = {G n , G n + 1, . . . , D n − 1, D n }. Puisque le cardinal de A n est n + 1, on a
D n − G n = n. Ainsi, A n est caractérisé par X n = D n + G n et, en particulier,
D n =
X n + n
2
et G n =
X n − n
2
.
Les accroissements (X n+1 − X n ) n0 ne peuvent prendre que les valeurs −1
ou 1. Plus précisément, X n+1 = X n − 1 si la marche issue de 0 atteint G n − 1
avant D n + 1, et X n+1 = X n + 1 si la marche issue de 0 atteint D n + 1
avant G n − 1. La symétrie de la marche aléatoire sous-jacente fait que la loi
de X n est symétrique pour tout n 0. En particulier, pour tout n 0, on a
0 = E(X n ) = E(D n ) + E(G n ) et donc E(D n ) = n/2 et E(G n ) = −n/2.
Théorème 6.2 (Évolution markovienne). La suite (X n ) n0 est une chaîne
de Markov inhomogène sur Z issue de 0 dont les transitions sont décrites par
les relations suivantes : pour −n i n,
1. «Internal Diffusion Limited Agregation (IDLA)» en anglais.