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Agrégation limitée par diffusion interne
Mots-clés. Modèle de croissance ; ensembles aléatoires.
Outils. Chaîne de Markov ; martingale ; couplage ; inégalité de concentration.
Difficulté. *
Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement. Après quelques années, il devient poreux et laisse échapper son contenu. Pour éviter une contamination excessive, on a disposé des pièges à particules qui capturent la première particule qui passe mais deviennent ensuite inertes (une nouvelle particule passe sans être arrêtée). Le milieu est isotrope : une particule radioactive
se déplace de la même manière dans toutes les directions tant qu’elle passe
sur des pièges qui ont déjà été activés et est capturée par le premier piège
libre qu’elle rencontre. On souhaite connaître la forme typique des zones qui
seront contaminées par cette fuite. On introduit pour ce faire un modèle de
croissance aléatoire, appelé agrégation limitée par diffusion interne, dont on
étudie notamment les propriétés asymptotiques.
6.1 Modèle d’agrégation par diffusion
Pour modéliser l’évolution de la région polluée, on introduit le modèle de
croissance suivant. On assimile l’espace à Z
d où d vaut 1, 2 ou 3 selon le
nombre de dimensions que l’on souhaite prendre en compte. Deux éléments x
et y de Z
d sont dits voisins, et nous noterons x ∼ y, si
|x − y| 1 = |x 1 − y 1 | + · · · + |x d − y d | = 1.
On place le fût à l’origine 0 ∈ Z
d . Sur chaque point du réseau est disposé un
piège. Notons A(0) le singleton {0}. Le premier piège activé sera l’un des 2d
83
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_6
Agrégation limitée par diffusion interne
Mots-clés. Modèle de croissance ; ensembles aléatoires.
Outils. Chaîne de Markov ; martingale ; couplage ; inégalité de concentration.
Difficulté. *
Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement. Après quelques années, il devient poreux et laisse échapper son contenu. Pour éviter une contamination excessive, on a disposé des pièges à particules qui capturent la première particule qui passe mais deviennent ensuite inertes (une nouvelle particule passe sans être arrêtée). Le milieu est isotrope : une particule radioactive
se déplace de la même manière dans toutes les directions tant qu’elle passe
sur des pièges qui ont déjà été activés et est capturée par le premier piège
libre qu’elle rencontre. On souhaite connaître la forme typique des zones qui
seront contaminées par cette fuite. On introduit pour ce faire un modèle de
croissance aléatoire, appelé agrégation limitée par diffusion interne, dont on
étudie notamment les propriétés asymptotiques.
6.1 Modèle d’agrégation par diffusion
Pour modéliser l’évolution de la région polluée, on introduit le modèle de
croissance suivant. On assimile l’espace à Z
d où d vaut 1, 2 ou 3 selon le
nombre de dimensions que l’on souhaite prendre en compte. Deux éléments x
et y de Z
d sont dits voisins, et nous noterons x ∼ y, si
|x − y| 1 = |x 1 − y 1 | + · · · + |x d − y d | = 1.
On place le fût à l’origine 0 ∈ Z
d . Sur chaque point du réseau est disposé un
piège. Notons A(0) le singleton {0}. Le premier piège activé sera l’un des 2d
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_6