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6 Agrégation limitée par diffusion interne
Alors, on a
1
√ a n
M n
loi
−→
n→∞
N (0, λ), et
√ a n
M n
M n
loi
−→
n→∞
N (0, λ
−1 ) si λ > 0.
Il convient de modifier légèrement (X n ) n0 pour en faire une martingale.
Lemme 6.9 (Martingale dans le modèle). Le processus (M n ) n0 défini par
M n = (n + 1)X n est une martingale de carré intégrable pour la filtration
naturelle (F n ) n0 de (X n ) n0 , qui vérifie
E((ΔM n+1 )
2 | F n ) = (n + 2)
2
− X
2
n ,
et
E((ΔM n+1 )
4 | F n ) =
(n + 2)
2
− X
2
n
(n + 2)
2 + 3X
2
n
,
et
M n
n 3
p.s.
−→
n→∞
1
3
.
Démonstration. Soit α ∈ {1, 2, 4}. La quantité suivante
E((ΔM n+1 )
α
|F n ) = E(((n + 2)X n+1 − (n + 1)X n )
α
| X n )
= [X n − (n + 2)]
α n + 2 + X n
2(n + 2)
+ [X n + n + 2]
α n + 2 − X n
2(n + 2)
,
est nulle si α = 1, et donc (M n ) n est une martingale. Si α ∈ {2, 4} alors
E((ΔM n+1 )
α
| F n ) = ((n + 2)
2
− X
2
n )
(n + 2 − X n )
α−1 + (n + 2 + X n )
α−1
2(n + 2)
,
ce qui donne les deux premières relations attendues. En particulier, on a
M n =
n−1
k=0
((k + 2)
2
− X
2
k ) =
n
3
3
−
n−1
k=0
X
2
k + o(n
3 ).
De plus
1
n 3
n−1
k=0
X
2
k
1
n
n−1
k=1
X
2
k
k 2 .
Puisque X n /n → 0 p.s. le lemme de Cesàro permet de conclure.
Pour pouvoir obtenir la convergence en loi de (M n ) n0 correctement renormalisée, il reste à vérifier la condition de Lyapunov du théorème 6.8 avec
a n = n
3 . Pour δ = 2, on a
n
k=1
E((ΔM k )
4
| F k−1 )
n+1
k=2
k
4 + 2
n
k=1
(k + 1)
2 X
2
k−1 = O(n
5 ).
La suite (M n /n
3/2 ) n1 converge donc en loi vers N (0, 1/3). Ceci fournit immédiatement la convergence dans le théorème 6.6.