5.5 Modélisation d’un composé chimique
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On considère l’énergie
x ∈ E → H(x) = card{i ∈ Λ : |x i | = 1}
qui compte le nombre de composés présents et la mesure de Gibbs associée
μ β =
1
Z β
e
−βH(x) , x ∈ E, β ∈ R, Z β =
x∈E
e
−βH(x) .
Plus le réel β est petit (respectivement grand) et plus la loi μ β favorise les
configurations denses (respectivement clairsemées).
Remarque 5.5 (Méthode du rejet). Voici une première méthode permettant
de simuler de manière exacte μ β . On attribue indépendamment à chaque site
de Λ une valeurs −1, 0 ou +1 avec probabilités respectives
e
−β
1 + 2e −β ,
1
1 + 2e −β , et
e
−β
1 + 2e −β .
La configuration obtenue est retenue si elle appartient à E. Dans le cas
contraire, on répète la procédure. Cette méthode simple s’avère impraticable
car E est tout petit dans {−1, 0, +1}
Λ .
Construisons à présent un algorithme de type Metropolis-Hastings. Pour
tous u ∈ [−1, 1], i ∈ Λ, soit
h i,u : E → {−1, 0, +1}
Λ
la fonction définie pour tous x ∈ E et j ∈ Λ par
(h i,u (x)) j =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x j si j = i ;
−1 si j = i et u < −1/(1 + 2e
−β ) ;
0
si j = i et −1/(1 + 2e
−β ) u 1/(1 + 2e
−β ) ;
+1 si j = i et u > 1/(1 + 2e
−β ).
Enfin, on pose
g i,u (x) =
h i,u (x) si h i,u (x) ∈ E,
x
sinon.
Soient (U n ) n1 et (V n ) n1 des suites indépendantes de variables aléatoires
i.i.d. de loi uniforme sur [−1, 1] et sur Λ respectivement, et G n := g Vn+1,Un+1 .
On définit enfin la suite récurrente aléatoire (X n ) n0 définie par
X n+1 = G n (X n ).
Théorème 5.6. La suite (X n ) n∈N est une chaîne de Markov sur E, irréductible, récurrente, apériodique et de loi invariante réversible μ β .