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5 Mesures de Gibbs
B n (x) = B T B ((G T B +1 ◦ · · · ◦ G n )(x)) = x B .
Il y a coalescence des trajectoires de (B n (x)) n0 quel que soit l’état initial
x. Soit μ B la loi de x B . Par convergence dominée, pour tout x ∈ E et toute
fonction bornée f : E → R,
lim
n→∞
E(f (B n (x)) = lim
n→∞
E(f (B n (x))1 {T B n} ) = E(f (x B )) = μ B f.
Or E(f (B n (x))) = P
n (x, ·)f =
y∈E P
n (x, y)f (y), d’où, pour tous x, y ∈ E,
lim
n→∞
P
n (x, y) = μ B (y).
Ainsi μ B = μ β , ce qui achève la preuve.
Si G est contractante alors on a aussi P(T A < ∞) = 1 et T A définit presque
sûrement un singleton aléatoire {x A }, vérifiant A T A (x) = x A pour tout x ∈ E,
mais rien n’assure que A n (x) = x A pour n > T A et tout x ∈ E, ni que x A suit
la loi μ β . Pour tous x, y ∈ E, la suite ((A n (x), A n (y))) n0 est un couplage
coalescent : les deux composantes sont des chaînes de même noyau et qui
restent collées après leur première rencontre. On dit que ((B n (x), B n (y))) n0
est un couplage coalescent par le passé
8 .
Lorsque G n’est pas contractante, on peut utiliser le noyau P
r , r 1, qui
admet également μ β comme loi invariante. En pratique, il n’est pas commode
de déterminer le temps de couplage (ou coalescence) par le passé T B car il fait
intervenir tous les états initiaux possibles. Il est toutefois possible de contrôler
ce temps lorsque le noyau P possède une propriété de monotonie par rapport
à un ordre sur l’espace d’états E, en se ramenant à un état minimal et à un
état maximal, comme le montre l’exemple détaillé dans la section 5.5.
5.5 Modélisation d’un composé chimique
Dans cette section nous mettons en place un algorithme de type MetropolisHastings et un algorithme de simulation exacte pour obtenir une réalisation
d’une mesure de Gibbs modélisant la répartition de deux composés chimiques
que l’on dira de type +1 et de type −1 en répulsion forte. Le système est
supposé ouvert et le nombre de particules de chaque composé est donc libre.
Pour simplifier, on suppose que les composés sont répartis sur une surface
plane assimilée à un carré discret Λ = {1, . . . , L}
2
⊂ Z
2 . Chaque site i ∈ Λ
est soit vierge, soit occupé par un composé chimique de type +1 ou −1. La
répulsion entre composés de types différents est prise en compte en interdisant
que deux composés de types différents soient voisins, c’est-à-dire à distance 1
sur le quadrillage. L’ensemble des configurations est donc le suivant
E = {x ∈ {−1, 0, +1}
Λ : ∀i, j ∈ Λ, |i − j| 1 = 1 ⇒ x i x j = −1}.
8. En anglais : «coupling from the past».
5 Mesures de Gibbs
B n (x) = B T B ((G T B +1 ◦ · · · ◦ G n )(x)) = x B .
Il y a coalescence des trajectoires de (B n (x)) n0 quel que soit l’état initial
x. Soit μ B la loi de x B . Par convergence dominée, pour tout x ∈ E et toute
fonction bornée f : E → R,
lim
n→∞
E(f (B n (x)) = lim
n→∞
E(f (B n (x))1 {T B n} ) = E(f (x B )) = μ B f.
Or E(f (B n (x))) = P
n (x, ·)f =
y∈E P
n (x, y)f (y), d’où, pour tous x, y ∈ E,
lim
n→∞
P
n (x, y) = μ B (y).
Ainsi μ B = μ β , ce qui achève la preuve.
Si G est contractante alors on a aussi P(T A < ∞) = 1 et T A définit presque
sûrement un singleton aléatoire {x A }, vérifiant A T A (x) = x A pour tout x ∈ E,
mais rien n’assure que A n (x) = x A pour n > T A et tout x ∈ E, ni que x A suit
la loi μ β . Pour tous x, y ∈ E, la suite ((A n (x), A n (y))) n0 est un couplage
coalescent : les deux composantes sont des chaînes de même noyau et qui
restent collées après leur première rencontre. On dit que ((B n (x), B n (y))) n0
est un couplage coalescent par le passé
8 .
Lorsque G n’est pas contractante, on peut utiliser le noyau P
r , r 1, qui
admet également μ β comme loi invariante. En pratique, il n’est pas commode
de déterminer le temps de couplage (ou coalescence) par le passé T B car il fait
intervenir tous les états initiaux possibles. Il est toutefois possible de contrôler
ce temps lorsque le noyau P possède une propriété de monotonie par rapport
à un ordre sur l’espace d’états E, en se ramenant à un état minimal et à un
état maximal, comme le montre l’exemple détaillé dans la section 5.5.
5.5 Modélisation d’un composé chimique
Dans cette section nous mettons en place un algorithme de type MetropolisHastings et un algorithme de simulation exacte pour obtenir une réalisation
d’une mesure de Gibbs modélisant la répartition de deux composés chimiques
que l’on dira de type +1 et de type −1 en répulsion forte. Le système est
supposé ouvert et le nombre de particules de chaque composé est donc libre.
Pour simplifier, on suppose que les composés sont répartis sur une surface
plane assimilée à un carré discret Λ = {1, . . . , L}
2
⊂ Z
2 . Chaque site i ∈ Λ
est soit vierge, soit occupé par un composé chimique de type +1 ou −1. La
répulsion entre composés de types différents est prise en compte en interdisant
que deux composés de types différents soient voisins, c’est-à-dire à distance 1
sur le quadrillage. L’ensemble des configurations est donc le suivant
E = {x ∈ {−1, 0, +1}
Λ : ∀i, j ∈ Λ, |i − j| 1 = 1 ⇒ x i x j = −1}.
8. En anglais : «coupling from the past».