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5 Mesures de Gibbs
Démonstration. La suite (X n ) n∈N est chaîne de Markov, écrite sous la forme
d’une suite récurrente aléatoire sur E fini. Toutes les configurations mènent à
la configuration nulle (aucun composé présent) et réciproquement. La chaîne
est donc irréductible et récurrente. Soit P le noyau de transition de (X n ) n∈N .
Si x et y sont deux éléments de E alors P(x, y) est strictement positif si x et y
coïncident sur en tous les sites sauf un. On vérifie au cas par cas la relation de
réversibilité. Supposons par exemple que x et y sont dans E et, pour i 0 ∈ Λ,
x i0 = +1, y i0 = 0 et x i = y i pour i = i 0 .
Alors H(x) = H(y) + 1 et ainsi
μ β (x)P(x, y) = μ β (y)e
−β
2
L 2 (1 + 2e −β )
= μ β (y)
1
L 2
1 −
1
1 + 2e −β
= μ β (y)P(y, x).
À partir de cette suite récurrente aléatoire, on peut également mettre en
place un algorithme de simulation parfaite. Doit-on vraiment, dans l’algorithme de Propp-Wilson, suivre toutes les trajectoires paramétrées par les
points de E vus comme des conditions initiales ? La propriété fondamentale
ci-dessous va permettre de simplifier grandement ce problème : deux suffisent !
Lemme 5.7 (Monotonie). Pour tous u ∈ [−1, 1] et i ∈ Λ, la fonction x ∈
E → g i,u (x) est croissante pour l’ordre (partiel) sur E défini par
x y ssi x i y i pour tout i ∈ Λ.
De plus, la configuration, notée −1 (respectivement +1), constituée uniquement de −1 (respectivement +1), est un plus petit (respectivement grand)
élément pour cet ordre partiel.
À présent, la monotonie fournit l’encadrement
G n (−1) G n (x) G n (+1),
indiquant que la coalescence partant de x quelconque a lieu avant la coalescence partant de ±1. D’un point de vue pratique, il suffit donc d’itérer
l’algorithme jusqu’à l’instant de coalescence des trajectoires issues de ±1.
Enfin, le noyau P n’est pas contractant au sens du théorème 5.4 mais P
L
2
l’est puisque, pour tout x ∈ E, P
L
2 (x, ·) charge la configuration nulle.
5.6 Pour aller plus loin
Pour une introduction à la physique statistique, qui est un point de contact
très important entre physique et mathématique, et notamment, et pour des
5 Mesures de Gibbs
Démonstration. La suite (X n ) n∈N est chaîne de Markov, écrite sous la forme
d’une suite récurrente aléatoire sur E fini. Toutes les configurations mènent à
la configuration nulle (aucun composé présent) et réciproquement. La chaîne
est donc irréductible et récurrente. Soit P le noyau de transition de (X n ) n∈N .
Si x et y sont deux éléments de E alors P(x, y) est strictement positif si x et y
coïncident sur en tous les sites sauf un. On vérifie au cas par cas la relation de
réversibilité. Supposons par exemple que x et y sont dans E et, pour i 0 ∈ Λ,
x i0 = +1, y i0 = 0 et x i = y i pour i = i 0 .
Alors H(x) = H(y) + 1 et ainsi
μ β (x)P(x, y) = μ β (y)e
−β
2
L 2 (1 + 2e −β )
= μ β (y)
1
L 2
1 −
1
1 + 2e −β
= μ β (y)P(y, x).
À partir de cette suite récurrente aléatoire, on peut également mettre en
place un algorithme de simulation parfaite. Doit-on vraiment, dans l’algorithme de Propp-Wilson, suivre toutes les trajectoires paramétrées par les
points de E vus comme des conditions initiales ? La propriété fondamentale
ci-dessous va permettre de simplifier grandement ce problème : deux suffisent !
Lemme 5.7 (Monotonie). Pour tous u ∈ [−1, 1] et i ∈ Λ, la fonction x ∈
E → g i,u (x) est croissante pour l’ordre (partiel) sur E défini par
x y ssi x i y i pour tout i ∈ Λ.
De plus, la configuration, notée −1 (respectivement +1), constituée uniquement de −1 (respectivement +1), est un plus petit (respectivement grand)
élément pour cet ordre partiel.
À présent, la monotonie fournit l’encadrement
G n (−1) G n (x) G n (+1),
indiquant que la coalescence partant de x quelconque a lieu avant la coalescence partant de ±1. D’un point de vue pratique, il suffit donc d’itérer
l’algorithme jusqu’à l’instant de coalescence des trajectoires issues de ±1.
Enfin, le noyau P n’est pas contractant au sens du théorème 5.4 mais P
L
2
l’est puisque, pour tout x ∈ E, P
L
2 (x, ·) charge la configuration nulle.
5.6 Pour aller plus loin
Pour une introduction à la physique statistique, qui est un point de contact
très important entre physique et mathématique, et notamment, et pour des