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5 Mesures de Gibbs
Lorsque β > 0, la probabilité μ β (x) est d’autant plus grande que l’énergie
H(x) est petite (par rapport aux autres valeurs de H), la mesure de probabilité
μ β favorise donc les configurations de faible énergie, et ce d’autant plus que β
est grand. Lorsque β = 0 on obtient la mesure de probabilité uniforme sur E.
Voici quelques exemples, parmi d’autres, de mesures de Gibbs :
— Modèle d’Ising. Dans ce modèle E = {−1, 1}
Λ où ∅ = Λ ⊂ Z
d . Chaque
x ∈ E représente la configuration magnétique des atomes d’un morceau
de métal. Pour tout site i ∈ Λ dans le réseau, la valeur x i ∈ {−1, 1}
est l’orientation magnétique de l’atome situé au site i, appelée parfois
spin. L’énergie de la configuration x ∈ E est de la forme
H(x) = J
|i−j| 1 =1
x i x j + h
i∈Λ
x i
où |i − j| 1 := |i 1 − j 1 | + · · · + |i d − j d |, où J est une constante de
couplage, et où h modélise un champ magnétique extérieur ;
— Loi d’Ewens. Dans ce modèle E = S n est le groupe symétrique, et
l’énergie H(σ) = |σ| de la permutation σ ∈ E est donnée par le nombre
de cycles |σ| de σ (théorème 14.3, β = − log(θ)) ;
— Graphes aléatoires. Dans ce modèle E est l’ensemble des graphes à n
sommets, et l’énergie H(g) d’un graphe g ∈ E est donnée par le nombre
d’arêtes dans g. Cela donne la loi du graphe aléatoire d’Erdős-Rényi
(théorème 16.14, β = − log(p)−log(1−p)). On peut considérer d’autres
énergies, comme par exemple le nombre de cycles du graphe, etc ;
— Champ libre gaussien. Dans ce modèle E = R
Λ avec ∅ = Λ ⊂ Z
d , et
l’énergie H(x) du «champ» ou «interface» x ∈ E est donnée par
H(x) =
|i−j| 1 =1
(x i − x j )
2 ,
avec |i − j| 1 := |i 1 −j 1 |+· · ·+|i d −j d |, et par convention x i = 0 si i ∈ Λ.
Il s’agit d’un exemple où E est infini et continu, étudié notamment dans
le chapitre 2 en liaison avec la marche aléatoire simple sur Z
d ;
— Polymères dirigés. On pourra se reporter au chapitre 19.
Il se trouve que les mesures de Gibbs ont la propriété remarquable de
maximiser l’entropie de Boltzmann à énergie moyenne fixée. Rappelons tout
d’abord que si μ est une mesure de probabilité sur E, son entropie de Boltzmann notée Ent(μ) est définie par, avec la convention 0 log(0) = 0,
Ent(μ) = −
x∈E
μ(x) log(μ(x)).
Théorème 5.1 (Maximum d’entropie à énergie fixée). Soit H : E → R
une fonction de minimum h − et de maximum h + , et soit m ∈ [h − , h + ], avec
m ∈ {h − , h + } si h − = h + . Soit M = {μ : E μ (H) = m} l’ensemble des
mesures de probabilité sur E d’énergie moyenne m. Alors il existe β ∈ R tel
que μ β ∈ M, et Ent(μ) Ent(μ β ) pour tout μ ∈ M, avec égalité ssi μ = μ β .
5 Mesures de Gibbs
Lorsque β > 0, la probabilité μ β (x) est d’autant plus grande que l’énergie
H(x) est petite (par rapport aux autres valeurs de H), la mesure de probabilité
μ β favorise donc les configurations de faible énergie, et ce d’autant plus que β
est grand. Lorsque β = 0 on obtient la mesure de probabilité uniforme sur E.
Voici quelques exemples, parmi d’autres, de mesures de Gibbs :
— Modèle d’Ising. Dans ce modèle E = {−1, 1}
Λ où ∅ = Λ ⊂ Z
d . Chaque
x ∈ E représente la configuration magnétique des atomes d’un morceau
de métal. Pour tout site i ∈ Λ dans le réseau, la valeur x i ∈ {−1, 1}
est l’orientation magnétique de l’atome situé au site i, appelée parfois
spin. L’énergie de la configuration x ∈ E est de la forme
H(x) = J
|i−j| 1 =1
x i x j + h
i∈Λ
x i
où |i − j| 1 := |i 1 − j 1 | + · · · + |i d − j d |, où J est une constante de
couplage, et où h modélise un champ magnétique extérieur ;
— Loi d’Ewens. Dans ce modèle E = S n est le groupe symétrique, et
l’énergie H(σ) = |σ| de la permutation σ ∈ E est donnée par le nombre
de cycles |σ| de σ (théorème 14.3, β = − log(θ)) ;
— Graphes aléatoires. Dans ce modèle E est l’ensemble des graphes à n
sommets, et l’énergie H(g) d’un graphe g ∈ E est donnée par le nombre
d’arêtes dans g. Cela donne la loi du graphe aléatoire d’Erdős-Rényi
(théorème 16.14, β = − log(p)−log(1−p)). On peut considérer d’autres
énergies, comme par exemple le nombre de cycles du graphe, etc ;
— Champ libre gaussien. Dans ce modèle E = R
Λ avec ∅ = Λ ⊂ Z
d , et
l’énergie H(x) du «champ» ou «interface» x ∈ E est donnée par
H(x) =
|i−j| 1 =1
(x i − x j )
2 ,
avec |i − j| 1 := |i 1 −j 1 |+· · ·+|i d −j d |, et par convention x i = 0 si i ∈ Λ.
Il s’agit d’un exemple où E est infini et continu, étudié notamment dans
le chapitre 2 en liaison avec la marche aléatoire simple sur Z
d ;
— Polymères dirigés. On pourra se reporter au chapitre 19.
Il se trouve que les mesures de Gibbs ont la propriété remarquable de
maximiser l’entropie de Boltzmann à énergie moyenne fixée. Rappelons tout
d’abord que si μ est une mesure de probabilité sur E, son entropie de Boltzmann notée Ent(μ) est définie par, avec la convention 0 log(0) = 0,
Ent(μ) = −
x∈E
μ(x) log(μ(x)).
Théorème 5.1 (Maximum d’entropie à énergie fixée). Soit H : E → R
une fonction de minimum h − et de maximum h + , et soit m ∈ [h − , h + ], avec
m ∈ {h − , h + } si h − = h + . Soit M = {μ : E μ (H) = m} l’ensemble des
mesures de probabilité sur E d’énergie moyenne m. Alors il existe β ∈ R tel
que μ β ∈ M, et Ent(μ) Ent(μ β ) pour tout μ ∈ M, avec égalité ssi μ = μ β .