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Mesures de Gibbs
Mots-clés. Mesure de Gibbs ; algorithme de Metropolis-Hastings ; échantillonneur de Gibbs ; algorithme du recuit simulé ; algorithme de ProppWilson.
Outils. Chaîne de Markov ; transformée de Laplace ; entropie de Boltzmann.
Difficulté. *
Ce chapitre est consacré à des algorithmes génériques de simulation de
mesures de probabilité, grâce aux chaînes de Markov. Le contexte choisi est
celui des mesures de probabilités discrètes finies. Dans tout le chapitre E
désigne un ensemble fini, typiquement de très grand cardinal, comme par
exemple un groupe symétrique. Les méthodes et concepts abordés dépassent
largement ce cadre restrictif, qui a le mérite de nécessiter peu de technologie.
5.1 Mesures de Gibbs
Soit H : E → R une fonction appelée énergie ou hamiltonien. Pour tout
β ∈ R, la mesure de Gibbs μ β est la mesure de probabilité sur E donnée pour
tout x ∈ E par
μ β (x) =
1
Z β
e
−βH(x) , où Z β =
y∈E
e
−βH(y) .
La constante de normalisation Z β est appelée fonction de partition. Quitte à
accepter que H prenne la valeur +∞, toute mesure de probabilité μ sur E est
une mesure de Gibbs avec β = 1 et H(x) = − log(μ(x)) pour tout x ∈ E, ce
qui donne
1 H(x) = +∞ si et seulement si μ(x) = 0.
1. Avec les conventions naturelles log(0) = −∞ et exp(−∞) = 0.
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_5