3.4 Immigration
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E(Z
2
n+1 |F n ) = Z n (σ
2 + m
2 ) + Z n (Z n − 1)m
2 + 2Z n mm + + σ
2
+ + m
2
+
ce qui donne
Var(Z n+1 ) = Var(Z n )m
2 + σ
2
E(Z n ) + σ
2
+ .
Si m > 1 alors l’espérance de Z n est d’ordre m
n et sa variance d’ordre
m
2n . Si m < 1 alors
E(Z n ) →
m +
1 − m
et Var(Z n ) →
σ
2 m +
1 − m
+
σ
2
+
1 − m 2 .
Notons que Z n = Z n,0 +
n
k=1 Z n,k où Z n,0 est le nombre de descendants à
l’instant n de l’individu présent au temps 0 (processus de sans immigration !),
tandis que Z n,k avec 1 k n est le nombre de descendants à l’instant n des
individus immigrés à l’instant k. Toutes ces variables sont indépendantes. On
observe que Z n,k a la même loi que la somme de I k copies indépendantes de
Z n−k,0 . Bien qu’il soit possible d’utiliser ces observations pour étudier le cas
m 1, nous nous contentons par souci de simplicité du cas m > 1.
Théorème 3.20 (Cas sur-critique avec immigration). Si m > 1 alors
(Y n ) n0 = (Z n /m
n ) n0 converge p.s. vers une v.a.r. Y ∞ 0. Si de plus
σ < ∞ et σ + < ∞ alors la convergence a également lieu dans L
2 et
1
E(Y ∞ ) = 1 +
m +
m − 1
.
Démonstration. La suite (Y n ) n0 est une sous-martingale pour (F n ) n0 car
E(Y n | F n−1 ) = Y n−1 + m
−n m + Y n−1 .
On a E(Y 0 ) = 1 et E(Y n ) = E(Y n−1 ) + m
−n m + pour n 1 d’où
E(Y n ) = 1 + (m
−1 + · · · + m
−n )m + .
Comme m > 1 et Y n 0, on obtient sup n E(|Y n |) = sup n E(Y n ) < ∞. En
tant que sous-martingale bornée dans L
1 , la suite (Y n ) n0 converge p.s. vers
une v.a.r. Y ∞ 0 intégrable, et la convergence a lieu dans L
1 si la suite est
uniformément intégrable. Supposons que σ < ∞ et σ + < ∞ et montrons que
la convergence a lieu dans L
2 . On a
E(Y
2
n ) = m
−2n
E(Z
2
n ) = m
−2n Var(Z n ) + m
−2n
E(Z n )
2 .
Or on sait que si m > 1 alors l’espérance de Z n est d’ordre m
n et sa variance
d’ordre m
2n , d’où := lim n→∞ E(Y
2
n ) < ∞. Enfin, pour tous n, k 1,
E((Y n+k − Y n )
2 ) = E(Y
2
n+k ) + E(Y
2
n ) − 2E(Y n+k Y n )
1. Il est également possible de calculer Var(Y∞) (exercice !).