52
3 Branchement et processus de Galton-Watson
n
S
1 2 3 4 5 6 7 8
n
S
(2)
1 2 3 4 5 6 7 8
n
S
(4)
1 2 3 4 5 6 7 8
n
S
(6)
1 2 3 4 5 6 7 8
Fig. 3.3. Une marche parmi n reste positive avant d’atteindre −1 (ici S
(4) ).
Exemple 3.19 (Reproduction poissonnienne). Si P = Poi(λ) avec λ < 1,
alors U 1 ∼ Poi(λ) ∗ δ −1 et, pour tout n 1,
P(N = n) = e
−λn (λn)
n−1
n!
puisque S n ∼ Poi(nλ) ∗ δ −n . D’autre part, la série génératrice f de N est
solution de l’équation fonctionnelle peu commode f (s) = se
λ(f (s)−1) .
3.4 Immigration
Le processus de Galton-Watson avec immigration (Z n ) n0 issu de Z 0 est
Z n+1 := I n+1 +
Zn
k=1
X n+1,k
pour tout n 0, où (X n,k ) n1,k1 sont i.i.d. de loi P sur N, (I n ) n1 i.i.d. de
loi P + sur N, toutes ces variables formant avec Z 0 une famille indépendante.
On suppose que P et P + ont pour moyenne m et m + . On note σ
2 et σ
2
+ leur
variance lorsqu’elle existe. On suppose que Z 0 = 1. Soit F n la tribu engendrée
par Z 0 , (X i,j ) 1in,j1 , I 1 , . . . , I n . Pour tout n 0,
E(Z n+1 | F n ) = mZ n + m +
d’où on tire (récurrence linéaire) que pour tout n 1,
E(Z n ) =
m
n +
m
n
− 1
m − 1
m +
1 m =1 + (1 + nm + )1 m=1 .
Pour la variance, on a