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3 Branchement et processus de Galton-Watson
= E(Y
2
n+k ) + E(Y
2
n ) − 2E(E(Y n+k | F n )Y n )
= E(Y
2
n+k ) − E(Y
2
n ) − 2(m
−n−k + · · · + m
−n−1 )m + E(Y n )
= + o n→∞ (1) − − o n→∞ (1) + o n→∞ (1).
Par conséquent, (Y n ) n0 est de Cauchy dans L
2 et converge donc dans L
2 . On
peut aussi alternativement se contenter d’invoquer directement le théorème
de convergence des martingales bornées dans L
2 .
3.5 Pour aller plus loin
C’est vers 1875 que Francis Galton et Henri William Watson écrivent leur
article sur l’évolution du nombre de noms de familles aristocratiques anglaises.
Ils ne connaissaient sans doute pas les travaux antérieurs de Irénée-Jules Bienaymé sur le même sujet. L’étude du processus de Galton-Watson peut être
considérablement raffinée. Le modèle lui même peut être enrichi et modifié afin
de tenir compte de diverses situations d’intérêt : existence de sexes différents,
survivance des individus à plusieurs générations, etc. On trouvera de nombreux développements dans les livres de Theodore Harris [Har02], de Khrishna
Athreya et Peter Ney [AN04], de Jean-François Delmas et Benjamin Jourdain
[DJ06], et de Patasy Haccou, Peter Jagers, et Vladimir Vatoutin [HJV07]. Les
processus de branchement ont beaucoup été étudiés par l’école française de
calcul des probabilités, notamment par Jacques Neveu, Jean-François Le Gall,
Jean Bertoin, et leurs descendants.
Dans le théorème 3.13 (explosion dans le cas critique), si E(Y ∞ ) = 1 alors
E(Y n ) < 1 grâce au lemme de Fatou. De plus Harry Kesten et Bernt P. Stigum
on montré dans [KS66] que soit P(Y ∞ = 0) = P(T < ∞) soit P(Y ∞ = 0) = 1
et les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. P(Y ∞ = 0) = P(T < ∞) ;
2. E(Y ∞ ) = 1 ;
3. (Y n ) n1 converge dans L
1 ;
4. E(X 1,1 log(X 1,1 )) < ∞ c’est-à-dire que z ∈ N → z log(z) ∈ L
1 (P ).
Une étude du processus avec immigration se trouve dans le livre collectif
[Rug01] ou encore dans le livre [AN04] de Athreya et Ney. Le théorème 3.11
de Akiva Yaglom constitue un bon point de départ pour l’étude plus générale
des distributions quasi-stationnaires des processus de populations, présentée
dans le survol de Sylvie Méléard et Denis Villemonais [MV12].
Le lemme 3.18 est obtenu dans un article de Aryeh Dvoretzky et Theodore Motzkin [DM47]. L’expression pour la taille d’un arbre de Galton-Watson
est établie dans un article de Meyer Dwass [Dwa69] avant que le lien entre
les deux situations ne soit fait. On pourra consulter l’habilitation à diriger
des recherches [Mar04] de Jean-François Marckert ainsi que l’article de synthèse autour du théorème du scrutin de Luigi Addario-Berry et Bruce Reed
3 Branchement et processus de Galton-Watson
= E(Y
2
n+k ) + E(Y
2
n ) − 2E(E(Y n+k | F n )Y n )
= E(Y
2
n+k ) − E(Y
2
n ) − 2(m
−n−k + · · · + m
−n−1 )m + E(Y n )
= + o n→∞ (1) − − o n→∞ (1) + o n→∞ (1).
Par conséquent, (Y n ) n0 est de Cauchy dans L
2 et converge donc dans L
2 . On
peut aussi alternativement se contenter d’invoquer directement le théorème
de convergence des martingales bornées dans L
2 .
3.5 Pour aller plus loin
C’est vers 1875 que Francis Galton et Henri William Watson écrivent leur
article sur l’évolution du nombre de noms de familles aristocratiques anglaises.
Ils ne connaissaient sans doute pas les travaux antérieurs de Irénée-Jules Bienaymé sur le même sujet. L’étude du processus de Galton-Watson peut être
considérablement raffinée. Le modèle lui même peut être enrichi et modifié afin
de tenir compte de diverses situations d’intérêt : existence de sexes différents,
survivance des individus à plusieurs générations, etc. On trouvera de nombreux développements dans les livres de Theodore Harris [Har02], de Khrishna
Athreya et Peter Ney [AN04], de Jean-François Delmas et Benjamin Jourdain
[DJ06], et de Patasy Haccou, Peter Jagers, et Vladimir Vatoutin [HJV07]. Les
processus de branchement ont beaucoup été étudiés par l’école française de
calcul des probabilités, notamment par Jacques Neveu, Jean-François Le Gall,
Jean Bertoin, et leurs descendants.
Dans le théorème 3.13 (explosion dans le cas critique), si E(Y ∞ ) = 1 alors
E(Y n ) < 1 grâce au lemme de Fatou. De plus Harry Kesten et Bernt P. Stigum
on montré dans [KS66] que soit P(Y ∞ = 0) = P(T < ∞) soit P(Y ∞ = 0) = 1
et les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. P(Y ∞ = 0) = P(T < ∞) ;
2. E(Y ∞ ) = 1 ;
3. (Y n ) n1 converge dans L
1 ;
4. E(X 1,1 log(X 1,1 )) < ∞ c’est-à-dire que z ∈ N → z log(z) ∈ L
1 (P ).
Une étude du processus avec immigration se trouve dans le livre collectif
[Rug01] ou encore dans le livre [AN04] de Athreya et Ney. Le théorème 3.11
de Akiva Yaglom constitue un bon point de départ pour l’étude plus générale
des distributions quasi-stationnaires des processus de populations, présentée
dans le survol de Sylvie Méléard et Denis Villemonais [MV12].
Le lemme 3.18 est obtenu dans un article de Aryeh Dvoretzky et Theodore Motzkin [DM47]. L’expression pour la taille d’un arbre de Galton-Watson
est établie dans un article de Meyer Dwass [Dwa69] avant que le lien entre
les deux situations ne soit fait. On pourra consulter l’habilitation à diriger
des recherches [Mar04] de Jean-François Marckert ainsi que l’article de synthèse autour du théorème du scrutin de Luigi Addario-Berry et Bruce Reed