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3 Branchement et processus de Galton-Watson
Cas sur-critique
Si m > 1 alors 0 < P(T < ∞) < 1 (théorème 3.7) avec Z n → 0 sur
l’événement {T < ∞} et Z n → ∞ sur {T = ∞} (théorème 3.6). D’autre part
E(Z n ) = m
n
→ ∞ et Var(Z n ) → ∞ si σ
2 < ∞ (théorème 3.3). Enfin, si
m > 1, on sait que sur {T < ∞} on a Z n → 0 tandis que sur {Y ∞ > 0} on
a Z n ∼ n→∞ m
n Y ∞ . On a aussi {T < ∞} ⊂ {Y ∞ = 0} p.s. et le théorème
suivant, fort agréable, affirme que cette inclusion p.s. est une égalité p.s.
Théorème 3.13 (Explosion dans le cas sur-critique). Si E(Y ∞ ) = 1 alors
{Y ∞ = 0} = {T < ∞} p.s. , et donc p.s.
— soit Y ∞ = 0 et lim n→∞ Z n = 0 ;
— soit Y ∞ > 0 et Z n ∼ n→∞ m
n Y ∞ +∞.
Démonstration. Comme E(Y ∞ ) = 1 et Y ∞ 0 on a P(Y ∞ > 0) > 0. Sur
{Y ∞ > 0} on a Z n ∼ n→∞ m
n Y ∞ → ∞ et on retrouve P(T < ∞) < 1. Pour
établir que l’inclusion p.s. {Y ∞ > 0} ⊂ {T = ∞} est une égalité p.s., nous
allons montrer que
P(Y ∞ = 0) = P(T < ∞).
En effet, pour tout z ∈ N
∗ , par les propriétés de Markov et de branchement,
P(Y ∞ = 0 | Z 1 = z) = P( lim
n→∞
Y n = 0 | Z 1 = z)
= P( lim
n→∞
Y n = 0)
z = P(Y ∞ = 0)
z ,
et comme Z 1 ∼ P , on a P(Y ∞ = 0) = g(P(Y ∞ = 0)), et donc P(Y ∞ = 0) est
point fixe de g. Or comme P(Y ∞ = 0) < 1 on obtient P(Y ∞ = 0) = P(T < ∞)
grâce au théorème 3.7, ce qui achève la preuve.
Notons que le lemme de Fatou donne E(Y ∞ ) lim inf n→∞ E(Y n ) = 1, ce
qui assure que Y ∞ est intégrable, mais la convergence de (Y n ) n0 vers Y ∞
n’a pas forcément lieu dans L
1 . Enfin, le lemme de Scheffé nous dit que la
convergence a lieu dans L
1 si et seulement si E(Y ∞ ) = 1.
Théorème 3.14 (Loi de Y ∞ dans le cas sur-critique). Si m > 1 et σ
2 < ∞
alors la martingale (Y n ) n0 converge p.s. et dans L
2 vers une variable aléatoire
Y ∞ 0 de moyenne E(Y ∞ ) = 1 et de variance Var(Y ∞ ) = σ
2 /(m
2
− m). De
plus, la transformée de Laplace t ∈ R + → L ∞ (t) = E(e
−tY∞ ) de Y ∞ est
caractérisée par les propriétés suivantes :
L
∞ (0) = −1 et L ∞ (mt) = g(L ∞ (t)) pour tout t ∈ R + .
Démonstration. La martingale (Y n ) n0 est bornée dans L
2 car
E(Y
2
n ) =
Var(Z n ) + E(Z n )
2
m 2n
=
σ
2
m 2 − m
−
σ
2
m n (m 2 − m)
+ 1